Deskriptivstatistik für Intervallskalen - Lösungen

#### Was bisher geschah: ----

# Daten laden
load(url('https://pandar.netlify.app/daten/fb23.rda'))

# Nominalskalierte Variablen in Faktoren verwandeln
fb23$hand_factor <- factor(fb23$hand,
                             levels = 1:2,
                             labels = c("links", "rechts"))
fb23$fach <- factor(fb23$fach,
                    levels = 1:5,
                    labels = c('Allgemeine', 'Biologische', 'Entwicklung', 'Klinische', 'Diag./Meth.'))
fb23$ziel <- factor(fb23$ziel,
                        levels = 1:4,
                        labels = c("Wirtschaft", "Therapie", "Forschung", "Andere"))
fb23$wohnen <- factor(fb23$wohnen, 
                      levels = 1:4, 
                      labels = c("WG", "bei Eltern", "alleine", "sonstiges"))

Falls Sie nochmal sicher gehen wollen, ob alles korrekt funktioniert hat, könnte die Anzahl der Zeilen und Spalten einen Hinweis geben:

dim(fb23)

## [1] 179  41

Der Datensatz besteht aus 179 Zeilen (Beobachtungen) und 41 Spalten (Variablen). Falls Sie bereits eigene Variablen erstellt haben, kann die Spaltenzahl natürlich abweichen.

# Invertieren
fb23$mdbf3_pre_r <-  -1 * (fb23$mdbf3_pre - 5)
fb23$mdbf9_pre_r <-  -1 * (fb23$mdbf9_pre - 5)

# Skalenwert

ru_pre <- fb23[, c("mdbf3_pre_r", "mdbf6_pre", "mdbf9_pre_r", "mdbf12_pre")]

fb23$ru_pre <- rowMeans(ru_pre)

Oder in einem Schritt mit der Pipe:

# Skalenwert

fb23$ru_pre <-  fb23[, c("mdbf3_pre_r", "mdbf6_pre", 
                         "mdbf9_pre_r", "mdbf12_pre")] |> rowMeans()

# Median und Mittelwert
median(fb23$ru_pre, na.rm = TRUE)

## [1] 3

mean(fb23$ru_pre, na.rm = TRUE)

## [1] 2.730447

Der Median ist größer als der Mittelwert, was eine linksschiefe Verteilung vermuten lässt.

Prüfen der Vermutung anhand eines Histogramms!

hist(fb23$ru_pre, breaks = 6) # Histogramm

Unser Histogramm zeigt uns, dass die Verteilung tatsächlich einigermaßen linksschief verläuft.

Erinnerung:

• Empirische Varianz: $s^2_{X} = \frac{\sum_{m=1}^n (x_m - \bar{x})^2}{n}$
• Schätzer der Populationsvarianz: $\hat{\sigma}^2_{X} = \frac{\sum_{m=1}^n (x_m - \bar{x})^2}{n - 1}$

Zur Berechnung der Varianz gemäß Formel benötigen wir $n$. Wir könnten mit nrow(fb23) die Länge des Datensatzes für n heranziehen. Dies ist jedoch nur dann sinnvoll, wenn auf der Variable `ru_pre`` keine fehlenden Werte vorhanden sind!

is.na(fb23$ru_pre) |> sum()

## [1] 0

Hier gibt es tatsächlich keinen fehlenden Wert.

# empirische Varianz
# per Hand
sum((fb23$ru_pre - mean(fb23$ru_pre, na.rm = T))^2, na.rm = T) / (length(na.omit(fb23$ru_pre)))

## [1] 0.5582769

# durch Umrechnung 
var(fb23$ru_pre, na.rm = T) * (length(na.omit(fb23$ru_pre))-1) / length(na.omit(fb23$ru_pre))

## [1] 0.5582769

# Populationsschätzer
var(fb23$ru_pre, na.rm = T)

## [1] 0.5614133

Die empirische Varianz ist kleiner als der Populationsschätzer.

Nun fehlt noch die Betrachtung der Standardabweichung. Als einfachste Möglichkeit für die Berechnung der empirischen Standardabweichung haben wir gelernt, dass man die Wurzel aus der empirischen Varianz ziehen kann.

# empirische Standardabweichung (na.omit / na.rm kann auch ausgelassen werden!)
(sum((fb23$ru_pre - mean(fb23$ru_pre, na.rm = T))^2, na.rm = T) / length(na.omit(fb23$ru_pre))) |> sqrt()

## [1] 0.7471793

# Populationsschätzer
sd(fb23$ru_pre, na.rm = T)

## [1] 0.7492752

Auch hier ist der empirische Wert kleiner als der Schätzer.

Um die Vergleichbarkeit zu erhöhen, wird im folgenden Code ein kleiner Trick angewendet. Die beiden Histogramme sollten am besten gleichzeitig unter Plots angezeigt werden. Durch die verwendete Funktion par() kann man verschiedene Plots gemeinsam in einem Fenster zeichnen. Das Argument bestimmt dabei, dass es eine Zeile und zwei Spalten für die Plots gibt.

par(mfrow=c(1,2))

# z-Standardisierung
fb23$ru_pre_zstd <- scale(fb23$ru_pre, center = TRUE, scale = TRUE)

# Histogramme
hist(fb23$ru_pre_zstd)
hist(fb23$ru_pre)

Beim Vergleich der beiden Histogrammen fällt auf, dass sich - aufgrund der R-Voreinstellungen - das Erscheinungsbild fälschlicherweise unterscheidet (vor allem, wenn wir die y-Achse betrachten!) - eigentlich sollte sich durch die z-Transformation nur Skalierung der x-Achsen-Variable verändern. Tatsächlich aber bestimmt R hier eine unterschiedliche Anzahl von Kategorien. Wir erhalten eine konstantere Darstellung durch das breaks-Argument:

# Histogramme mit jeweils 5/6 Breaks
par(mfrow=c(1,2))
hist(fb23$ru_pre_zstd, breaks = 5)
hist(fb23$ru_pre, breaks = 6)

Die Verteilungen sehen nun tatsächlich vergleichbar aus. Da die Breaks ein weicher Befehl sind, kann hier keine komplette Gleichheit gegeben werden.