Matrixalgebra - Aufgaben

Aufgabe 1

Vektoren

Wir wollen uns zunächst noch mal Vektoren widmen und einige Operationen durchführen.

• Erstellen Sie in R die drei folgenden Vektoren: Lassen Sie sich anschließend das 3. Element des y-Vektors und das 1. Element des z-Vektors ausgeben.

$$x=\begin{pmatrix}4\\2\ \end{pmatrix}, \qquad y=\begin{pmatrix}7\\14\\93\\56 \end{pmatrix}, \qquad z=\begin{pmatrix}48\\13\\107 \end{pmatrix}$$

• Addieren Sie x und y. Was erwarten Sie? Gleichen Sie Ihre Erwartungen mit dem tatsächlichen Ergebnis ab.

• Addieren Sie nun x und z. Was wird jetzt passieren? Gleichen Sie wieder Ihre Erwartungen mit dem tatsächlichen Ergebnis ab.

• Multiplizieren Sie nun den y-Vektor mit dem Skalar m = 3.

• Nehmen wir an, der Vektor x beinhaltet die Anzahl an Geschwistern von Sarah und Lea. Ordnen Sie den beiden Elementen die Namen zu.

Aufgabe 2

Matrizen

• Erstellen Sie eine $4 \times 3$ Matrix (A) aus den folgenden Spaltenvektoren:

$$a=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\\ \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}5\\6\\7\\8 \end{pmatrix}, \qquad c=\begin{pmatrix}9\\10\\11\\12 \end{pmatrix}$$

• Erstellen Sie nun aus den gleichen Vektoren eine $3 \times 4$ Matrix (B), indem sie die Vektoren als Zeilenvektoren zu einer Matrix verbinden:

$$\qquad a=\begin{pmatrix}1, 2, 3, 4 \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}5, 6, 7, 8 \end{pmatrix}, \qquad c=\begin{pmatrix}9, 10, 11, 12 \end{pmatrix}$$

• Lassen Sie sich die Elemente $a_{32}$ und $b_{23}$ ausgeben. Was fällt Ihnen auf?

• Bilden Sie die Transponierte von B.

• Bilden Sie die beiden Matrizen X und Y (mit dem matrix-Befehl) und addieren Sie diese. Multiplizieren Sie das Ergebnis (Z) anschließend mit 4.

$$X=\begin{pmatrix}-4 & -13\\ 8 & -32\\ 49 & 2\end{pmatrix}, Y=\begin{pmatrix}12 & 25\\ 7 & 106\\ 4 & -20\end{pmatrix} $$

• Multiplizieren Sie die Matrizen A und Z. Machen Sie sich vorher Gedanken über die Voraussetzungen der Matrixmultiplikation und welches Matrixformat Sie erwarten.

Aufgabe 3

Spezielle Matrizen

• Erstellen Sie eine $4 \times 4$ Einheitsmatrix $I$.

• Erstellen Sie eine quadratische Matrix S mit den Elementen 14, 7, 28 auf der Diagonalen.

• Bilden Sie die Inverse der Matrix Z aus Aufgabe 2. Was erwarten Sie?

• Bilden Sie nun die Inverse P der Matrix S. Überprüfen Sie im Vorhinein, ob lineare Abhängigkeit vorliegt!

Bonusaufgabe: To come

Regressionskoeffizienten berechnen mit Hilfe von Matrixalgebra