Simulation und Poweranalyse - Aufgaben

Aufgabe 1

Lineare Beziehungen zwischen Variablen: Korrelationstest unter $H_1$

Wir wollen uns ebenfalls die Power für den Korrelationstest ansehen. Dazu müssen wir allerdings korrelierte Variablen generieren. Um das hinzubekommen, müssen wir einige Eigenschaften der Normalverteilung ausnutzen: bspw. dass die Summe zweier normalverteilter Zufallsvariablen wieder normalverteilt ist. Für zwei unabhängige (unkorrelierte) standardnormalverteilte Zufallsvariablen $X$ und $Z$, ist die Zufallsvariable $Y$, die folgendermaßen gebildet wird:

$$Y:= \rho X + \sqrt{1-\rho^2}Z,$$

wieder standardnormalverteilt und um den Korrelationskoeffizienten $\rho$ korreliert mit $X$. Wir können also relativ einfach zwei korrelierte Variablen generieren. Wie in der Sitzung verwenden wir $N=20$:

N <- 20

set.seed(12345)
X <- rnorm(N)
Z <- rnorm(N)
Y <- 0.5*X + sqrt(1 - 0.5^2)*Z
cor(X, Y) # empirische Korrelation

## [1] 0.579799

sd(X) 

## [1] 0.8339354

sd(Y)

## [1] 1.232089

Falls Sie die oben genutzte Formel zur Generierung korrelierter Zufallsvariablen überprüfen wollen, dann setzen Sie doch einmal N = 10^6 (also eine Stichprobe von 1 Mio). Dann sollte die empirische Korrelation sehr nah an der theoretischen liegen. Auch sollten dann die empirischen Standardabweichungen sehr nah an der 1 liegen.

Verwenden Sie für diese Aufgabe stets den Seed 12345 (set.seed(12345)).

• Betrachten Sie das Modell für eine Stichprobe von N = 10^6. Berichten Sie die empirische Korrelation sowie die empirischen Standardabweichungen.
• Untersuchen Sie die Power des Korrelationstests für eine Korrelation von $\rho=0.5$ und $N = 20$. Führen Sie eine Simulationsstudie durch. Wie groß ist die Power?
• Stellen Sie die Verteilung der empirischen Korrelationen (für $\rho=0.5$ und $N=20$) unter der $H_1$ dar.

Aufgabe 2

Lineare Beziehungen zwischen Variablen: Korrelationstest unter $H_1$ für ungleiche Varianzen

Wiederholen Sie die Analyse. Verändern Sie diesmal die Varianz der beiden Variablen X und Y. X soll eine Varianz von 9 haben (multiplizieren Sie dazu X mit 3, nachdem Sie Y mithilfe von X und Z generiert haben), und Y soll eine Varianz von 0.25 haben (multiplizieren Sie dazu Y mit 0.5, nachdem Sie Y mit Hilfe von X und Z generiert haben).

• Betrachten Sie das Modell für eine Stichprobe von N = 10^6. Berichten Sie die empirische Korrelation sowie die empirischen Standardabweichungen.
• Führen Sie eine Simulationsstudie durch (für $\rho=0.5$ und $N=20$). Wie verändert sich die Power des Tests durch die veränderten Varianzen?

Aufgabe 3

Sensitivitätsanalyse für die Korrelation

In den Inhalten zu dieser Sitzung haben Sie neben der Poweranalyse auch die Sensitivitätsanalyse für den $t$-Test kennengelernt. Diese lässt sich mithilfe des Pakets WebPower auch für die Korrelation durchführen.

• Laden Sie zunächst das Paket WebPower und schauen Sie sich die Funktion für die Poweranalyse bei einer Korrelation an.
• Nehmen Sie an, dass Sie eine Gruppe von $N=50$ Personen untersucht haben. Sie möchten nun wissen, wie groß der Korrelationskoeffizient theoretisch sein müsste, damit eine Power von $95\%$ erreicht werden kann. Das $\alpha$-Fehleriveau soll dabei bei $0.05$ liegen.

Aufgabe 4

Type I-Error und Power zu einem $\alpha$-Niveau von $0.1$ des $t$-Test

Wir wollen nun die Power des $t$-Tests für ein anderes $\alpha$-Fehlerniveau bestimmen. Wiederholen Sie also die Poweranalysen aus der Sitzung für den $\alpha$-Fehler und die Power für ein $\alpha$-Fehlerniveau von $0.1$.

Nutzen Sie den Seed 12345 (set.seed(12345)).

• Führen Sie eine Simulation durch, um das empirische $\alpha$-Niveau des $t$-Tests zu bestimmen für $N=20$. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Ergebnis aus der Sitzung.
• Führen Sie eine Simulation durch, um die empirische Power des $t$-Tests zu bestimmen für $N=20$, $d = 0.5$ und $\alpha = 0.1$. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Ergebnis aus der Sitzung. Was bedeutet dies für die Wahl der Irrtumswahrscheinlichkeit?

Aufgabe 5

Power-Plots für den $t$-Test

Wir wollen nun die Power des $t$-Tests für unterschiedliche Effektgrößen untersuchen. In den beiden Gruppen soll jeweils eine Varianz von 1 herrschen. Verändern Sie also den Code der Sitzung nur hinsichtlich der Effektgröße. Das $\alpha$-Fehlerniveau soll wieder bei $0.05$ liegen.

Nutzen Sie den Seed 12345 (set.seed(12345)).

• Erstellen Sie einen Power-Plot für die folgenden Effekte $d = 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1,$ und $1.25$ bei einer Stichprobengröße von $N = 20$. Stellen Sie die Effektgröße auf der x-Achse dar.

• Welcher Effekt muss mindestens bestehen, damit die Power bei $80%$ liegt?

Aufgabe 6

Powervergleich: $t$-Test vs. Wilcoxon-Test

Wir wollen nun die Power des $t$-Tests mit der Power des Wilcoxon-Tests vergleichen. Der Wilcoxon-Test ist flexibler anzuwenden, da er weniger Annahmen aufweist. Untersuchen Sie, wie sich dies auf die Power auswirkt. Das $\alpha$-Fehlerniveau soll wieder bei $0.05$ liegen.

Nutzen Sie den Seed 12345 (set.seed(12345)).

• Verwenden Sie das gleiche Setting wie aus der Sitzung und bestimmen Sie die Power des Wilcoxon-Tests für $N=20$, $d = 0.5$ und $\alpha = 0.05$. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Ergebnis aus der Sitzung.