Verteilungen - Lösungen

Aufgabe 1

Bei einem Gewinnspiel auf dem Jahrmarkt wird aus zwei Töpfen eine Kugel gezogen. In beiden Töpfen gibt es jeweils eine Kugel der Farben rot, grün, blau und gelb.

• Wie viele Kombinationsmöglichkeiten an Ziehungen gibt es, wenn jeweils eine Kugel gezogen wird. Lassen Sie sich diese ausgeben.

topf <- c('rot','gruen','blau','gelb')
kombis <- expand.grid(topf, topf)
nrow(kombis)

## [1] 16

• Wenn mindestens eine der beiden gezogenen Kugeln grün ist, gewinnen Sie das Spiel. Lassen Sie sich von R ausgeben, wie viele mögliche Ziehungskombinationen einen Gewinn beinhalten.

kombis$gewinn <- kombis$Var1 == 'gruen'|kombis$Var2 == 'gruen'
sum(kombis$gewinn == TRUE)

## [1] 7

Aufgabe 2

Eine typischer Münzwurf bietet die Optionen Kopf oder Zahl.

• Simulieren Sie mithilfe von R einen Münzwurf.

muenze <- c('Kopf', 'Zahl')
sample(x = muenze, size = 1)

## [1] "Zahl"

• Replizieren Sie diesen Wurf nun fünf Mal. Lassen Sie sich dabei in einem abgespeicherten Objekt logisch (TRUE oder FALSE) ausgeben, ob die Münze Kopf angezeigt hat. Verwenden Sie zur Konstanthaltung einen Seed von 1901.

set.seed(1901)
kopfwurf <- replicate(n = 5, expr = sample(x = muenze, size = 1)=="Kopf")

• Welchem Wert würde sich der Mittelwert des eben abgespeicherten Objektes im unendlichen Fall annähern?

Aufgabe 3

Sie wollen an einem Gewinnspiel mit Losen teilnehmen. Dafür hat der Veranstalter ein computerbasiertes Vorgehen, bei dem in 70% der Fälle Nieten angezeigt werden.

• Wie wahrscheinlich ist es, dass Sie in 10 Versuchen genau 4 Mal einen Gewinn erhalten?

dbinom(x = 4, size = 10, prob = 0.3)

## [1] 0.2001209

• Plotten Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die 10 Versuche!

Lösung

x <- c(0:10)
probs <- dbinom(x, size = 10, prob = 0.3)
plot(x = x, y = probs, type = "h", xlab = "Häufigkeiten eines Gewinns", ylab = "Wahrscheinlichkeit bei 10 Versuchen")

• Wie wahrscheinlich ist es, dass Sie in 10 Versuchen minimal 5 Gewinne erhalten?

pbinom (q = 4, size = 10, prob = 0.3, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.1502683

• Wie wahrscheinlich ist es, dass Sie minimal 6 und höchstens 8 Gewinne erhalten?

pbinom(q = 8, size = 10, prob = 0.3) - pbinom(q = 5, size = 10, prob = 0.3)

## [1] 0.0472053

• Der Preis pro Gewinn beträgt 2€. Sollten Sie bei einem Einsatz von 5€ pro 10 Versuche mitspielen?

anzahlGewinne <- 10*.3       #Erwartungswert bei 10 Versuchen
GeldErw <- anzahlGewinne * 2 #Erwartungswert in Euro
GeldErw > 5  

## [1] TRUE

Aufgabe 4

Ein Fragebogen zum Thema Stressempfinden wird so konzipiert, dass die Verteilung der Testwerte einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 50 und einer Standardabweichung von 10 folgt.

• Zeichnen Sie die Dichtefunktion für Testwerte zwischen 30 und 70!

Lösung

curve (expr = dnorm (x, mean = 50, sd = 10),
       from = 30,
       to = 70,
       main = "Dichtefunktion",
       xlab = "Stress-Werte",
       ylab = "Dichte")

• Standardisieren Sie die Verteilung gedanklich. Welche Ihnen bekannte Verteilung wäre das? Zeichnen Sie zur Hilfe die Dichtefunktion für Werte zwischen -2 und 2 mit einem Mittelwert von 0 und einer Standardabweichung von 1.

Lösung

Die standardisierte Verteilung entspricht der Standardnormalverteilung. Das wird auch durch die Zeichnung verdeutlicht.

curve (expr = dnorm (x, mean = 0, sd = 1),
       from = -2,
       to = 2,
       main = "Standardnormalverteilung",
       xlab = "standardisierte Stress-Werte",
       ylab = "Dichte")

• Nach dem Ausfüllen des Fragebogens erhalten zwei Personen Ihre Ergebnisse. Person 1 hat einen z-Wert von 0.5, während Person 2 einen Wert von 66 auf der beschriebenen Skala erreicht. Wer empfindet höheren Stress?

(66-50)/10

## [1] 1.6

• Für welchen z-Wert gilt stets die Aussage, dass die Verteilungsfunktion den y-Wert von 0.5 erreicht?

• Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion für die Standardnormalverteilung in den bereits verwendeten Grenzen.

Lösung

curve (expr = pnorm (x, mean = 0, sd = 1),
       from = -2,
       to = 2,
       main = "Verteilungsfunktion",
       xlab = "standardisierte Testwerte",
       ylab = "F(x)")

Aufgabe 5 (Transferaufgabe)

Eine Schlafforscherin plant die Messung der Zeit (in Minuten), die Menschen benötigen, um nach einem stressigen Tag einzuschlafen. Sie geht davon aus, dass die gemessenen Werte einer Exponentialverteilung mit einer Rate (Kehrwert der mittleren Zeit bis zum Einschlafen) von λ = 0.05 folgen.

• Nutzen Sie die Hilfe in R, um die Funktion für die Exponentialverteilung zu finden.

?distributions

• Zeichnen Sie die Dichtefunktion der Exponentialverteilung für die Einschlafzeit von 0 bis 60 Minuten.

Lösung

curve(expr = dexp(x, rate = 0.05), 
      from = 0, 
      to = 60,
      main = "Exponentialverteilung",
      xlab = "Einschlafzeit (Minuten)",
      ylab = "Dichte f(x)")

• Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person a) bis zu 10 Minuten und b) zwischen 15 und 20 Minuten benötigt, um nach einem stressigen Tag einzuschlafen. Nutzen Sie hierzu beide Male die Funktion integrate() und vergleichen Sie das Ergebnis im Anschluss jeweils mit dem Resultat, das Sie erhalten, wenn Sie die vordefinierte Verteilungsfunktion mit dem entsprechenden Präfix verwenden.

# manuell mit integrate()
integrate(f = dexp, lower = 0, upper = 10, rate = 0.05)

## 0.3934693 with absolute error < 4.4e-15

# über Verteilungsfunktion pexp()
pexp(10, rate = 0.05, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.3934693

# manuell mit integrate()
integrate(f = dexp, lower = 15, upper = 20, rate = 0.05)

## 0.1044871 with absolute error < 1.2e-15

# über Verteilungsfunktionp exp()
pexp(20, rate = 0.05, lower.tail = TRUE) - pexp(15, rate = 0.05, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.1044871