Deskriptivstatistik für Intervallskalen - Lösungen

Laden Sie zunächst den Datensatz fb22 von der pandar-Website. Alternativ können Sie die fertige R-Daten-Datei hier herunterladen. Beachten Sie in jedem Fall, dass die Ergänzungen im Datensatz vorausgesetzt werden. Die Bedeutung der einzelnen Variablen und ihre Antwortkategorien können Sie dem Dokument Variablenübersicht.docx entnehmen.

# Skalenwert

naturverbundenheit <- fb22[, c('nr1', 'nr2', 'nr3', 'nr4', 'nr5',  'nr6')]
fb22$nr_ges <- rowMeans(naturverbundenheit)

Oder in einem Schritt mit der Pipe:

# Skalenwert

fb22$nr_ges <-  fb22[, c('nr1', 'nr2', 'nr3', 'nr4', 'nr5',  'nr6')] |> rowMeans()

# Median und Mittelwert
median(fb22$nr_ges, na.rm = TRUE)

## [1] 3.333333

mean(fb22$nr_ges, na.rm = TRUE)

## [1] 3.254777

Der Median ist (geringfügig) größer als der Mittelwert, was auf eine (leicht) linksschiefe bzw. rechtssteile Verteilung schließen lässt.

Prüfen der Vermutung anhand eines Histogramms!

hist(fb22$nr_ges) # Histogramm

Die Verteilung ist tatsächlich (leicht) linksschief bzw. rechtssteil.

Erinnerung:

• Empirische Varianz: \(s^2_{X} = \frac{\sum_{m=1}^n (x_m - \bar{x})^2}{n}\)
  
• Schätzer der Populationsvarianz: \(\hat{\sigma}^2_{X} = \frac{\sum_{m=1}^n (x_m - \bar{x})^2}{n - 1}\)

Zur Berechnung der Varianz gemäß Formel benötigen wir \(n\). Wir könnten mit nrow(fb22) die Länge des Datensatzes für n heranziehen. Dies ist jedoch nur dann sinnvoll, wenn auf der Variable nr_ges keine fehlenden Werte vorhanden sind!

is.na(fb22$nr_ges) |> sum()

## [1] 2

Hier gibt es tatäschlich wieder zwei fehlenden Werte. Im Tutorial haben wir aber bereits gelernt, dass man mit length(na.omit(fb22$nr_ges)) die Anzahl an Personen bestimmen kann, die auf der Skala einen Wert haben.

# empirische Varianz
# per Hand
sum((fb22$nr_ges - mean(fb22$nr_ges, na.rm = T))^2, na.rm = T) / (length(na.omit(fb22$nr_ges)))

## [1] 0.6597879

# durch Umrechnung 
var(fb22$nr_ges, na.rm = T) * (length(na.omit(fb22$nr_ges))-1) / length(na.omit(fb22$nr_ges))

## [1] 0.6597879

# Populationsschätzer
var(fb22$nr_ges, na.rm = T)

## [1] 0.6640173

Die empirische Varianz ist kleiner als der Populationsschätzer.

Nun fehlt noch die Betrachtung der Standardabweichung. Als einfachste Möglichkeit für die Berechnung der empirischen Standardabweichung haben wir gelernt, dass man die Wurzel aus der empirischen Varianz ziehen kann.

# empirische Standardabweichung
(sum((fb22$nr_ges - mean(fb22$nr_ges, na.rm = T))^2, na.rm = T) / length(na.omit(fb22$nr_ges))) |> sqrt()

## [1] 0.8122733

# Populationsschätzer
sd(fb22$nr_ges, na.rm = T)

## [1] 0.8148726

Auch hier ist der empirische Wert kleiner als der Schätzer.

Um die Vergleichbarkeit zu erhöhen, wird im folgenden Code ein kleiner Trick angewendet. Die beiden Histogramme sollten am besten gleichzeitig unter Plots angezeigt werden. Durch die verwendete Funktion par() kann man verschiedene Plots gemeinsam in einem Fenster zeichnen. Das Argument bestimmt dabei, dass es eine Zeile und zwei Spalten für die Plots gibt.

par(mfrow=c(1,2))

# z-Standardisierung
fb22$nr_ges_z <- scale(fb22$nr_ges)

# Histogramme
hist(fb22$nr_ges_z)
hist(fb22$nr_ges)

Beim Vergleich der beiden Histogrammen fällt auf, dass sich - aufgrund der R-Voreinstellungen - das Erscheinungsbild fälschlicherweise unterscheidet - eigentlich sollte sich durch die z-Transformation nur Skalierung der x-Achsen-Variable verändern. Tatsächlich aber bestimmt R hier eine unterschiedliche Anzahl von Kategorien. Wir erhalten eine konstantere Darstellung durch das breaks-Argument:

# Histogramme mit jeweils 20 Breaks
par(mfrow=c(1,2))
hist(fb22$nr_ges_z, breaks = 20)
hist(fb22$nr_ges, breaks = 20)

Die Verteilungen sehen nun tatächlich (fast) gleich aus. Da die Breaks ein weicher Befehl sind, ist die komplette Gleichheit aber dennoch nicht gegeben.