Tests für abhängige Stichproben - Lösungen

Die Skala “Prokrastination” soll bei hohen Werten eine höhere Prokrastinationstendenz darstellen. Um zu vergleichen, ob die Zustimmung je nach Itemformulierung (pos. vs. neg.) anders ausfällt, müssen wir die rekodierten Versionen der Variablen nehmen (wurde im Seminar bereits durchgeführt).

Anschließend bilden wir für jede Person ihren Mittelwert auf den positiv formulierten Items sowie ihren Mittelwert auf den negativ formulierten Items.

# Skalenbildung
prokrast_pos <- fb22[, c('prok1', 'prok4',  'prok6',
                         'prok9', 'prok10')]
prokrast_pos$mean <- rowMeans(prokrast_pos,na.rm = T)

prokrast_neg <- fb22[, c('prok2_r', 'prok3_r',
                         'prok5_r', 'prok7_r',
                         'prok8_r')]
prokrast_neg$mean <- rowMeans(prokrast_neg,na.rm = T)

Deskriptivstatistische Beantwortung der Fragestellung: grafisch

Je ein Histogramm pro Skala, untereinander dargestellt, vertikale Linie für den jeweiligen Mittelwert

par(mfrow=c(2,1), mar=c(3,2,2,0))
hist(prokrast_pos$mean, xlim=c(0,4), ylim=c(1,60), main="Prokrastinationstendenz positiv formulierte Items", xlab="", ylab="", las=1)
abline(v=mean(prokrast_pos$mean), lty=2, lwd=2)
hist(prokrast_neg$mean, xlim=c(0,4), ylim=c(1,60), main="Prokrastinationstendenz negativ formulierte Items", xlab="", ylab="", las=1)
abline(v=mean(prokrast_neg$mean), lty=2, lwd=2)

par(mfrow=c(1,1))

Deskriptivstatistische Beantwortung der Fragestellung: statistisch

summary(prokrast_pos$mean)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   1.200   2.200   2.800   2.684   3.200   4.000

summary(prokrast_neg$mean)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   1.200   2.000   2.400   2.323   2.600   4.000

#alternativ
library(psych)
describe(prokrast_pos$mean)

##    vars   n mean   sd median trimmed  mad min max range skew kurtosis   se
## X1    1 159 2.68 0.64    2.8    2.68 0.59 1.2   4   2.8 0.09    -0.55 0.05

describe(prokrast_neg$mean)

##    vars   n mean   sd median trimmed  mad min max range skew kurtosis   se
## X1    1 159 2.32 0.52    2.4    2.31 0.59 1.2   4   2.8 0.31     0.14 0.04

Mittelwert positiv (M = 2.68, SD = 0.64) ist deskriptiv höher als Mittelwert negativ (M = 2.32, SD = 0.52).

Voraussetzungen für t-Test für abhängige Stichproben

1. Die abhängige Variable ist intervallskaliert \(\rightarrow\) ok
2. Die Messwerte innerhalb der Paare dürfen sich gegenseitig beeinflussen/voneinander abhängig sein; keine Abhängigkeiten zwischen den Messwertpaaren \(\rightarrow\) ok
3. Die Differenzvariable d muss in der Population normalverteilt sein \(\rightarrow\) ab \(n \ge 30\) gegeben, ansonsten grafische Prüfung oder Hintergrundwissen

Voraussetzungsprüfung: Normalverteilung von d

par(mar=c(3,3,3,0)) #ändern der Ränder (margins) des Plot-Fensters
difference <- prokrast_pos$mean-prokrast_neg$mean
hist(difference, 
     breaks = 15,
     xlim=c(-2,2), 
     ylim = c(0,1), 
     main="Verteilung der Differenzen", 
     xlab="Differenzen", ylab="", las=1,freq=F)
curve(dnorm(x, mean=mean(difference), sd=sd(difference)), col="blue", lwd=2, add=T)

par(mfrow=c(1,1)) #Zurücksetzen auf default
qqnorm(difference,las=1)
qqline(difference, col="blue")

\(\Rightarrow\) Differenzen sehen einigermaßen normalverteilt aus

Hypothesen

• Art des Effekts: Unterschiedshypothese
  
• Richtung des Effekts: Ungerichtet \(\rightarrow\) ungerichtete Hypothese
• Größe des Effekts: Unspezifisch

Hypothesenpaar (inhaltlich):
H0: Studierende geben in gleichem Ausmaß ihre Prokrastinationstendenz an, d.h. die Richtung der Itemformulierung ist irrelevant.

H1: Studierende geben nicht im gleichen Ausmaß ihre Prokrastinationstendenz an, d.h. die Richtung der Itemformulierung hat einen Einfluss.

Hypothesenpaar (statistisch):

• \(H_0\): \(\mu_\text{positiv} = \mu_\text{negativ}\) bzw. \(\mu_{d} = 0\)
• \(H_1\): \(\mu_\text{positiv} \ne \mu_\text{negativ}\) bzw. \(\mu_{d} \ne 0\)

Spezifikation des Signifikanzniveaus

\(\alpha = .05\)

Durchführung des t-Tests für abhängige Stichproben in R

t.test(x = prokrast_pos$mean, y  = prokrast_neg$mean, 
       paired = T,                       # Stichproben sind abhängig
       alternative = "two.sided",        # ungerichtete Hypothese 
       conf.level = .95)                 # alpha = .05

## 
## 	Paired t-test
## 
## data:  prokrast_pos$mean and prokrast_neg$mean
## t = 8.7105, df = 158, p-value = 3.85e-15
## alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.2789052 0.4424784
## sample estimates:
## mean difference 
##       0.3606918

• Zur Erinnerung: df bei t-test mit abhängigen Stichproben: n - 1
• t(0.05;158) = 8.71, p < .001 \(\rightarrow\) signifikant, H0 wird verworfen.

Schätzung des standardisierten Populationseffekts

mean_d <- mean(difference)
sd.d.est <- sd(difference) #die geschätzte SD der Differenzen
d_prok <- mean_d/sd.d.est
d_prok

## [1] 0.6907852

\(\Rightarrow\) Der standardisierte Populationseffekt beträgt d2’’ = 0.69 und ist laut Konventionen nach Cohen (1988) groß.

Formales Berichten des Ergebnisses

Es wurde untersucht, ob Psychologiestudierende in Anbhängigkeit der Itemformulierung in unterschiedlichem Maße angeben, dass sie prokrastinieren. Es findet sich deskriptiv ein Unterschied: Bei den positiv formulierten Items liegt der durchschnittliche Prokrastinationswert bei 2.68 (SD = 0.64), während er bei negativ formulierten Items bei 2.32 (SD = 0.52) liegt.

Zur Beantwortung der Fragestellung wurde ein ungerichteter t-Test für abhängige Stichproben durchgeführt. Der Unterschied ist signifikant (t(158) = 8.71, p < .001), somit wird die Nullhypothese verworfen. Die Itemformulierung scheint einen Einfluss auf die angegebene Prokrastinationstendenz zu haben.

Dieser Einfluss ist nach dem standardisierten Populationseffekt von d’’ = 0.69 groß.

Anmerkung: Hierbei ist zu bedenken, dass es neben der Richtung der Itemformulierung natürlich noch andere (bei unserer Erhebung nicht kontrollierte) Eigenheiten der Items geben kann, die zu Unterschieden führen (z. B. wie extrem bzw. schwierig die Items formuliert sind).

Datensatz generieren

dataMeditation <- data.frame(Vpn = 1:18, 
                             Vorher = c(4.1,5.9,4.4,7.8,2.4,8.8,3.1,5.0,6.0,4.5,5.8,4.4,3.2,7.3,7.4,6.3,4.3,7.1), 
                             Nachher = c(4.0,7.2,8.1,6.2,4.1,7.7,5.5,6.9,8.2,5.4,9.1,5.6,6.8,7.5,6.4,4.9,6.1,7.9))

Deskriptivstatistische Beantwortung der Fragestellung: grafisch

Histogramme (weil Intervallskalenqualität): Je ein Histogramm pro Gruppe, untereinander dargestellt, vertikale Linie für den jeweiligen Mittelwert

par(mfrow=c(2,1), mar=c(3,2,2,0))
hist(dataMeditation[, "Vorher"], xlim=c(0,10), ylim=c(1,6), main="Zufriedenheit vor der Meditation", xlab="", ylab="", las=1)
abline(v=mean(dataMeditation[, "Vorher"]), lty=2, lwd=2)
hist(dataMeditation[, "Nachher"], xlim=c(0,10), ylim=c(1,6), main="Zufriedenheit nach der Meditation", xlab="", ylab="", las=1)
abline(v=mean(dataMeditation[, "Nachher"]), lty=2, lwd=2)

par(mfrow=c(1,1))

Deskriptivstatistische Beantwortung der Fragestellung: statistisch

summary(dataMeditation[, "Vorher"])

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   2.400   4.325   5.400   5.433   6.900   8.800

summary(dataMeditation[, "Nachher"])

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   4.000   5.525   6.600   6.533   7.650   9.100

#alternativ
library(psych)
describe(dataMeditation[, "Vorher"])

##    vars  n mean   sd median trimmed  mad min max range skew kurtosis   se
## X1    1 18 5.43 1.79    5.4    5.41 1.78 2.4 8.8   6.4 0.12    -1.14 0.42

describe(dataMeditation[, "Nachher"])

##    vars  n mean   sd median trimmed  mad min max range  skew kurtosis   se
## X1    1 18 6.53 1.44    6.6    6.53 1.63   4 9.1   5.1 -0.14    -1.05 0.34

Mittelwert vorher (M = 5.43, SD = 1.79) ist deskriptiv niedriger als Mittelwert nachher (M = 6.53, SD = 1.44).

Voraussetzungen für t-Test für abhängige Stichproben

1. Die abhängige Variable ist intervallskaliert \(\rightarrow\) ok
2. Die Messwerte innerhalb der Paare dürfen sich gegenseitig beeinflussen/voneinander abhängig sein; keine Abhängigkeiten zwischen den Messwertpaaren \(\rightarrow\) ok
3. Die Differenzvariable d muss in der Population normalverteilt sein \(\rightarrow\) ab \(n \ge 30\) gegeben, ansonsten grafische Prüfung oder Hintergrundwissen

Voraussetzungsprüfung: Normalverteilung von d

par(mar=c(3,3,3,0)) #ändern der Ränder (margins) des Plot-Fensters
difference2 <- dataMeditation[, "Vorher"]-dataMeditation[, "Nachher"]
hist(difference2, xlim=c(-6,4), main="Verteilung der Differenzen", xlab="Differenzen", ylab="", las=1,freq=F)
curve(dnorm(x, mean=mean(difference2), sd=sd(difference2)), col="blue", lwd=2, add=T)

par(mfrow=c(1,1)) #Zurücksetzen auf default
qqnorm(difference2,las=1)
qqline(difference2, col="blue")

\(\Rightarrow\) Differenzen sehen nicht normalverteilt aus

\(\Rightarrow\) Durchführung des Wilcoxon-Tests für abhängige Stichproben, da die Voraussetzungen hierfür erfüllt sind.

Hypothesen

• Art des Effekts: Unterschiedshypothese
  
• Richtung des Effekts: Gerichtet \(\rightarrow\) gerichtete Hypothesen (Der Wissenschaftler erwartet eine positive Wirkung der Meditation auf die Zufriedenheit.)
• Größe des Effekts: Unspezifisch

Hypothesenpaar (inhaltlich):
H0: Die Meditation wirkt sich nicht oder negativ auf die Zufriedenheit aus.

H1: Die Meditation wirkt sich positiv auf die Zufriedenheit aus.

Hypothesenpaar (statistisch):

• \(H_0\): \(\eta_\text{vorher} \ge \eta_\text{nachher}\) bzw. \(\mu_{d} \ge 0\)
• \(H_1\): \(\eta_\text{vorher} < \eta_\text{nachher}\) bzw. \(\mu_{d} < 0\)

Spezifikation des Signifikanzniveaus

\(\alpha = .05\)

Inferenzstatistik: Wilcoxon-Test für abhängige Stichproben

wilcox.test(x = dataMeditation[, "Vorher"], y  = dataMeditation[, "Nachher"], # die beiden abhängigen Gruppen
       paired = T,                       # Stichproben sind abhängig
       alternative = "less",             # gerichtete Hypothese -> einseitige Testung
       conf.level = .95)                 # alpha = .05

## 
## 	Wilcoxon signed rank exact test
## 
## data:  dataMeditation[, "Vorher"] and dataMeditation[, "Nachher"]
## V = 31, p-value = 0.007965
## alternative hypothesis: true location shift is less than 0

\(\Rightarrow\) V = 31, p < .01 \(\rightarrow\) H0 wird verworfen.

Formales Berichten des Ergebnisses

Es wurde in einer Wiederholungsmessung untersucht, ob sich Meditation auf Zufriedenheit auswirkt. Zunächst findet sich deskriptiv ein Unterschied: Vor der Meditation liegt der durchschnittliche Zufriedenheitswert bei 5.43 (SD = 1.79), während er nach der Meditation bei 6.53 (SD = 1.44) liegt.

Da die Differenzen nicht normalverteilt waren, wurde ein gerichteter Wilcoxon-Test für abhängige Stichproben durchgeführt. Der Unterschied wurde bei einem Signifikanzniveau von alpha = .05 signifikant (V = 31, p < .01). Somit wird die Nullhypothese verworfen. Die Meditation hat einen positiven Einfluss auf die Zufriedenheit.