Tests für unabhängige Stichproben - Lösungen

Deskriptivstatistische Beantwortung der Fragestellung: grafisch

data1 <- fb22[ (which(fb22$fach=="Allgemeine"|fb22$fach=="Klinische")), ]
data1$fach <- droplevels(data1$fach)
boxplot(data1$intel ~ data1$fach,
        xlab="Interessenfach", ylab="Intellekt", 
        las=1, cex.lab=1.5, 
        main="Interessenfach und Intellekt")

Deskriptivstatistische Beantwortung der Fragestellung: statistisch

# Überblick

library(psych)
describeBy(data1$intel, data1$fach)

## 
##  Descriptive statistics by group 
## group: Allgemeine
##    vars  n mean   sd median trimmed  mad min max range skew kurtosis   se
## X1    1 19 3.79 0.48   3.75    3.76 0.37   3   5     2 0.59     0.08 0.11
## ------------------------------------------------------------ 
## group: Klinische
##    vars  n mean   sd median trimmed  mad  min  max range  skew kurtosis   se
## X1    1 57 3.54 0.63   3.75    3.56 0.37 1.75 4.75     3 -0.63     0.34 0.08

# Berechnung der empirischen Standardabweichung

intel.A <- data1$intel[(data1$fach=="Allgemeine")]
sigma.A <- sd(intel.A)
n.A <- length(intel.A[!is.na(intel.A)])
sd.A <- sigma.A * sqrt((n.A-1) / n.A)
sd.A 

## [1] 0.4677997

intel.B <- data1$intel[(data1$fach=="Klinische")]
sigma.B <- sd(intel.B)
n.B <- length(intel.B[!is.na(intel.B)])
sd.B <- sigma.B * sqrt((n.B-1) / n.B)
sd.B

## [1] 0.6255499

Mittelwert der Allgemeinen Psychologen (M = 3.79, SD = 0.47) unterscheidet sich deskriptivstatistisch vom Mittelwert der Klinischen (M = 3.54, SD = 0.63).

Voraussetzungsprüfung: Normalverteilung

Nicht nötig, da Normalverteilung in Population angenommen werden darf (s. Aufgabenstellung).

Hypothesen

• Art des Effekts: Unterschiedshypothese
  
• Richtung des Effekts: Ungerichtet \(\rightarrow\) ungerichtete Hypothesen
  
• Größe des Effekts: Unspezifisch

Hypthesenpaar (statistisch):

• \(H_0\): \(\mu_\text{Allgemeine} = \mu_\text{Klinische}\)
• \(H_1\): \(\mu_\text{Allgemeine} \ne \mu_\text{Klinische}\)

Spezifikation des Signifikanzniveaus

\(\alpha = .05\)

Voraussetzungsprüfung: Varianzhomogenität

library(car)
leveneTest(data1$intel ~ data1$fach)

## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##       Df F value Pr(>F)
## group  1  1.3813 0.2437
##       74

F(1, 74) = 1.38, p = 0.244 \(\rightarrow\) Das Ergebnis ist nicht signifikant, die \(H_0\) wird beibehalten und Varianzhomogenität angenommen.

Durchführung des t-Tests

t.test(data1$intel ~ data1$fach,           # abhängige Variable ~ unabhängige Variable
       paired = F,                   # Stichproben sind unabhängig 
       alternative = "two.sided",         # zweiseitige Testung
       var.equal = T,                # Varianzhomogenität ist gegeben (-> Levene-Test)
       conf.level = .95)             # alpha = .05 

## 
## 	Two Sample t-test
## 
## data:  data1$intel by data1$fach
## t = 1.6058, df = 74, p-value = 0.1126
## alternative hypothesis: true difference in means between group Allgemeine and group Klinische is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.0612611  0.5700330
## sample estimates:
## mean in group Allgemeine  mean in group Klinische 
##                 3.789474                 3.535088

Formales Berichten des Ergebnisses

Es wurde untersucht, ob sich Studierende, die sich für Allgemeine Psychologie interessieren, im Persönlichkeitsmerkmal ‘Intellekt’ (auch: Offenheit für neue Erfahrungen) von Studierenden, die sich für Klinische Psychologie interessieren, unterscheiden. Deskriptiv liegt ein solcher Unterschied vor: Die Mittelwerte betragen 3.79 (Allgemeine, SD = 0.47) und 3.54 (Klinische, SD = 0.63). Der entsprechende t-Test zeigt jedoch ein nicht signifikantes Ergebnis (t(df = 74, zweis.) = 1.61, p = 0.113). Die Nullhypothese konnte nicht verworfen werden und wird beibehalten. Die Studierenden sind im Persönlichkeitsmerkmal ‘Intellekt’ unabhängig davon, ob sie sich für Allgemeine Psychologie oder für Klinische Psychologie interessieren.

Deskriptivstatistische Beantwortung der Fragestellung: grafisch

boxplot(fb22$lz ~ fb22$ort,
        xlab="Wohnort", ylab="Lebenszufriedenheit", 
        las=1, cex.lab=1.5, 
        main="Wohnort und Lebenszufriedenheit")

Deskriptivstatistische Beantwortung der Fragestellung: statistisch

library(psych)
describeBy(fb22$lz, fb22$ort)

## 
##  Descriptive statistics by group 
## group: Frankfurt
##    vars  n mean   sd median trimmed  mad min max range  skew kurtosis   se
## X1    1 95  4.8 1.15      5     4.9 1.19 1.4 6.6   5.2 -0.77     0.14 0.12
## ------------------------------------------------------------ 
## group: anderer
##    vars  n mean   sd median trimmed  mad min max range  skew kurtosis   se
## X1    1 53 4.68 0.91    4.8    4.75 0.89   2 6.2   4.2 -0.73     0.19 0.13

summary(fb22[which(fb22$ort=="Frankfurt"), "lz"])

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max.    NA's 
##     1.4     4.2     5.0     4.8     5.7     6.6       1

summary(fb22[which(fb22$ort=="anderer"), "lz"])

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max.    NA's 
##   2.000   4.200   4.800   4.683   5.400   6.200       1

Mittelwert der Nicht-Frankfurter:innen ist deskriptiv niedriger als der der Frankfurter:innen.

Voraussetzungsprüfung: Normalverteilung

par(mfrow=c(1,2))
lz.F <- fb22[which(fb22$ort=="Frankfurt"), "lz"]
hist(lz.F, xlim=c(1,9), ylim=c(0,.5), main="Lebenzufriedenheit\n(Frankfurter)", xlab="", ylab="", las=1, prob=T)
curve(dnorm(x, mean=mean(lz.F, na.rm=T), sd=sd(lz.F, na.rm=T)), col="red", lwd=2, add=T)
qqnorm(lz.F)
qqline(lz.F, col="red")

\(\rightarrow\) Entscheidung: Normalverteilung wird nicht angenommen

par(mfrow=c(1,2))
lz.a <- fb22[which(fb22$ort=="anderer"), "lz"]
hist(lz.a, xlim=c(1,9), main="Lebenszufriedenheit\n(Nicht-Frankfurter)", xlab="", ylab="", las=1, prob=T)
curve(dnorm(x, mean=mean(lz.a, na.rm=T), sd=sd(lz.a, na.rm=T)), col="red", lwd=2, add=T)
qqnorm(lz.a)
qqline(lz.a, col="red")

\(\rightarrow\) Entscheidung: Normalverteilung wird nicht angenommmen

Hypothesen

• Art des Effekts: Unterschiedshypothese
  
• Richtung des Effekts: Gerichtet \(\rightarrow\) gerichtete Hypothesen
  
• Größe des Effekts: Unspezifisch

Hypthesenpaar (statistisch):

• \(H_0\): \(\eta_\text{Frankfurter} \le \eta_\text{nicht-Frankfurter}\)
  
• \(H_1\): \(\eta_\text{Frankfurter} > \eta_\text{nicht-Frankfurter}\)

Spezifikation des Signifikanzniveaus

\(\alpha = .05\)

Durchführung des Wilcoxon-Tests

wilcox.test(fb22$lz ~ fb22$ort,           # abhängige Variable ~ unabhängige Variable
       paired = F,                   # Stichproben sind unabhängig 
       alternative = "greater",         # einseitige Testung: Gruppe1 (Frankfurter:innen) > Gruppe2 (Nicht-Frankfurter:innen) 
       conf.level = .95)             # alpha = .05 

## 
## 	Wilcoxon rank sum test with continuity correction
## 
## data:  fb22$lz by fb22$ort
## W = 2775, p-value = 0.1515
## alternative hypothesis: true location shift is greater than 0

Formales Berichten des Ergebnisses

Es wurde untersucht, ob außerhalb von Frankfurt wohnende Studierende unzufriedener im Leben sind als die in Frankfurt wohnenden. Deskriptiv zeigt sich das erwartete Muster: die Nicht-Frankfurter:innen sind weniger zufrieden (Mdn = 4.8, IQB = [4.2 ; 5.4]) als die Frankfurter:innen (Mdn = 5, IQB = [4.2 ; 5.7]). Jedoch ist das Ergebnis des einseitigen Wilcoxon-Tests nicht signifikant (W = 2775, p = 0.151). Die Nullhypothese konnte nicht verworfen werden und wird beibehalten.

Beide Variablen sind nominalskaliert \(\rightarrow \chi^2\)-Test

Voraussetzungen

1. Die einzelnen Beobachtungen sind voneinander unabhängig \(\rightarrow\) ok
2. Jede Person lässt sich eindeutig einer Kategorie bzw. Merkmalskombination zuordnen \(\rightarrow\) ok
3. Zellbesetzung für alle \(n_{ij}\) > 5 \(\rightarrow\) Prüfung anhand von Häufigkeitstabelle

fb22$geschlecht <- fb22$geschl
fb22$geschlecht[fb22$geschlecht=="anderes"] <- NA #Umkodieren von "anderes" in fehlenden Wert
fb22$geschlecht <- droplevels(fb22$geschlecht) #Level "anderes" wird eliminiert
tab <- table(fb22$geschlecht, fb22$ort)
tab

##            
##             Frankfurt anderer
##   weiblich         79      46
##   maennlich        15       8

\(\rightarrow n_{ij}\) > 5 in allen Zellen gegeben

Hypothesen

• Art des Effekts: Zusammenhangshypothese
• Richtung des Effekts: Ungerichtet
• Größe des Effekts: Unspezifisch

Hyothesenpaar (inhaltlich):

• \(H_0\): Weibliche und männliche Studierende der Psychologie wohnen mit gleicher Wahrscheinlichkeit innerhalb bzw. außerhalb von Frankfurt.
  
• \(H_1\): Weibliche und männliche Studierende der Psychologie unterscheiden sich in der Wahrscheinlichkeit, innerhalb bzw. außerhalb von Frankfurt zu wohnen.

Hypothesenpaar (statistisch):

• \(H_0\): \(\pi_{ij} = \pi_{i\bullet} \cdot \pi_{\bullet j}\)
  
• \(H_1\): \(\pi_{ij} \neq \pi_{i\bullet} \cdot \pi_{\bullet j}\)

Durchführung des \(\chi^2\)-Test in R

chisq.test(tab, correct=FALSE)

## 
## 	Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  tab
## X-squared = 0.034116, df = 1, p-value = 0.8535

\(\chi^2\) = 0.034, df = 1, p = 0.853 \(\rightarrow H_0\)

Effektstärke Phi (\(\phi\))

library(psych)
phi(tab)

## [1] -0.02

Ergebnisinterpretation

Es wurde untersucht, ob sich männliche und weibliche Studierende in ihrem Wohnort (Frankfurt vs. außerhalb) unterscheiden. Zur Beantwortung der Fragestellung wurde ein Vierfelder-Chi-Quadrat-Test für unabhängige Stichproben berechnet. Der Zusammenhang zwischen Wohnort und Geschlecht ist nicht signifikant (\(\chi^2\)(1) = 0.034, p = 0.853), somit wird die Nullhypothese beibehalten. Der Effekt ist von vernachlässigbarer Stärke (\(\phi\) = -0.02). Männliche und weibliche Studierende wohnen also mit gleicher Wahrscheinlichkeit in Frankfurt bzw. außerhalb von Frankfurt.