Tests und Konfidenzintervalle - Lösungen

Laden Sie zunächst den Datensatz fb22 von der pandar-Website. Alternativ können Sie die fertige R-Daten-Datei hier herunterladen. Beachten Sie in jedem Fall, dass die Ergänzungen im Datensatz vorausgesetzt werden. Die Bedeutung der einzelnen Variablen und ihre Antwortkategorien können Sie dem Dokument Variablenübersicht.docx entnehmen.

Prüfen Sie zur Sicherheit, ob alles funktioniert hat:

dim(fb22)

## [1] 159  47

str(fb22)

## 'data.frame':	159 obs. of  47 variables:
##  $ prok1        : int  1 4 3 1 2 2 2 3 2 4 ...
##  $ prok2        : int  3 3 3 3 1 4 2 1 3 3 ...
##  $ prok3        : int  4 2 2 4 4 2 3 2 2 2 ...
##  $ prok4        : int  2 4 4 NA 3 2 2 3 3 4 ...
##  $ prok5        : int  3 1 2 4 2 3 3 3 4 2 ...
##  $ prok6        : int  4 4 4 3 1 2 2 3 2 4 ...
##  $ prok7        : int  3 2 2 4 2 3 3 3 3 3 ...
##  $ prok8        : int  3 4 3 4 4 2 3 3 4 2 ...
##  $ prok9        : int  1 4 4 2 1 1 2 2 3 4 ...
##  $ prok10       : int  3 4 3 2 1 3 1 4 1 4 ...
##  $ nr1          : int  1 1 4 2 1 1 1 5 2 1 ...
##  $ nr2          : int  3 2 5 4 5 4 3 5 4 4 ...
##  $ nr3          : int  5 1 5 4 1 3 3 5 5 4 ...
##  $ nr4          : int  4 2 5 4 2 4 4 5 3 5 ...
##  $ nr5          : int  4 2 5 4 2 3 4 5 4 4 ...
##  $ nr6          : int  3 1 5 3 2 1 1 5 2 4 ...
##  $ lz           : num  5.4 6 3 6 3.2 5.8 4.2 NA 5.4 4.6 ...
##  $ extra        : num  2.75 3.75 4.25 4 2.5 3 2.75 3.5 4.75 5 ...
##  $ vertr        : num  3.75 4.75 4.5 4.75 4.75 3 3.25 5 4.5 4.5 ...
##  $ gewis        : num  4.25 2.75 3.75 4.25 5 4.25 4 4.75 4.5 3 ...
##  $ neuro        : num  4.25 5 4 2.25 3.75 3.25 3 3.5 4 4.5 ...
##  $ intel        : num  4.75 4 5 4.75 3.5 3 4 4 5 4.25 ...
##  $ nerd         : num  2.67 4 4.33 3.17 4.17 ...
##  $ grund        : chr  "Interesse" "Allgemeines Interesse schon seit der Kindheit" "menschliche Kognition wichtig und rätselhaft; Interesse für Psychoanalyse; Schnittstelle zur Linguistik" "Psychoanalyse, Hilfsbereitschaft, Lebenserfahrung" ...
##  $ fach         : Factor w/ 5 levels "Allgemeine","Biologische",..: 5 4 1 4 2 NA 1 4 3 4 ...
##  $ ziel         : Factor w/ 4 levels "Wirtschaft","Therapie",..: 2 2 3 2 2 NA 1 2 2 2 ...
##  $ lerntyp      : num  1 1 1 1 1 NA 3 2 3 1 ...
##  $ geschl       : int  1 2 2 2 1 NA 2 1 1 1 ...
##  $ job          : int  1 2 1 1 1 NA 2 1 1 1 ...
##  $ ort          : int  1 1 1 2 2 NA 2 1 1 1 ...
##  $ ort12        : int  1 1 1 1 1 NA 1 1 1 1 ...
##  $ wohnen       : Factor w/ 4 levels "WG","bei Eltern",..: 2 2 3 4 2 NA 2 1 1 3 ...
##  $ uni1         : num  0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 ...
##  $ uni2         : num  1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 ...
##  $ uni3         : num  0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 ...
##  $ uni4         : num  0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ...
##  $ geschl_faktor: Factor w/ 3 levels "weiblich","männlich",..: 1 2 2 2 1 NA 2 1 1 1 ...
##  $ prok2_r      : num  2 2 2 2 4 1 3 4 2 2 ...
##  $ prok3_r      : num  1 3 3 1 1 3 2 3 3 3 ...
##  $ prok5_r      : num  2 4 3 1 3 2 2 2 1 3 ...
##  $ prok7_r      : num  2 3 3 1 3 2 2 2 2 2 ...
##  $ prok8_r      : num  2 1 2 1 1 3 2 2 1 3 ...
##  $ prok_ges     : num  2 3.3 3.1 NA 2 2.1 2 2.8 2 3.3 ...
##  $ nr_ges       : num  3.33 1.5 4.83 3.5 2.17 ...
##  $ nr_ges_z     : num [1:159, 1] 0.0964 -2.1534 1.9372 0.3009 -1.3353 ...
##   ..- attr(*, "scaled:center")= num 3.25
##   ..- attr(*, "scaled:scale")= num 0.815
##  $ nerd_std     : num [1:159, 1] -0.7059 1.3395 1.8509 0.0611 1.5952 ...
##   ..- attr(*, "scaled:center")= num 3.13
##   ..- attr(*, "scaled:scale")= num 0.652
##  $ neuro_std    : num [1:159, 1] 0.869 1.912 0.521 -1.914 0.173 ...
##   ..- attr(*, "scaled:center")= num 3.63
##   ..- attr(*, "scaled:scale")= num 0.719

Der Datensatz besteht aus 159 Zeilen (Beobachtungen) und 47 Spalten (Variablen). Falls Sie weitere eigene Variablen erstellt haben, kann die Spaltenzahl natürlich abweichen.

Installieren aller wichtigen Packages. Beachten Sie, dass das psych Paket eventuell schon im Tutorial installiert wurde, weshalb Sie dies nicht nochmal machen müssen.

install.packages("psych")
install.packages("car")

Damit die Funktionen ansprechbar sind, müssen die Pakete auch noch mittels library aktiviert werden.

library(psych)

## Warning: Paket 'psych' wurde unter R Version 4.2.2 erstellt

library(car)

## Lade nötiges Paket: carData

## 
## Attache Paket: 'car'

## Das folgende Objekt ist maskiert 'package:psych':
## 
##     logit

Variante 1:

mean.lz <- mean(fb22$lz, na.rm = T) #Mittelwert
mean.lz

## [1] 4.709554

sd.lz <- sd(fb22$lz, na.rm = T) #Standardabweichung
sd.lz

## [1] 1.073801

n.lz <- length(na.omit(fb22$lz)) #Stichprobengröße
se.lz <- sd.lz/sqrt(n.lz) #Standardfehler
se.lz

## [1] 0.08569867

• Der Mittelwert der Lebenszufriedenheit in der Stichprobe liegt bei 4.71.
• Die Standardabweichung der Lebenszufriedenheit beträgt 1.074.
• Der Standardfehler der Lebenszufriedenheit beträgt 0.086.

Variante 2:

describe(fb22$lz) #Funktion aus Paket "psych"

##    vars   n mean   sd median trimmed  mad min max range  skew kurtosis   se
## X1    1 157 4.71 1.07    4.8    4.79 0.89 1.4 6.6   5.2 -0.64     0.04 0.09

#geeigneter Plot: QQ-Plot. Alle Punkte sollten auf einer Linie liegen.
qqnorm(fb22$lz)
qqline(fb22$lz)

#Die qqPlot-Funktion zeichnet ein Konfidenzintervall in den QQ-Plot. Dies macht es für Betrachter:innen einfacher zu entscheiden, ob alle Punkte in etwa auf einer Linie liegen. Die Punkte sollten nicht außerhalb der blauen Linien liegen.
qqPlot(fb22$lz)

## [1]  76 120

Beide Darstellungsweisen des QQ-Plot weisen darauf hin, dass die Daten nicht normalverteilt sind.

Da die Varianz der Grundgesamtheit nicht bekannt ist, wird ein t-Test herangezogen. Obwohl keine Normalverteilung vorliegt, können wir aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes trotzdem einen t-Test rechnen.

Hypothesengenerierung:

\(\alpha\) = .01

\(H_0\): Die durchschnittliche Lebenzufriedenheit der Psychologie-Studierenden \(\mu_1\) unterscheidet sich nicht von der Lebenszufriedenheit der Gesamtbevölkerung \(\mu_0\).

\(H_0\): \(\mu_0\) \(=\) \(\mu_1\)

\(H_1\): Die durchschnittliche Lebenzufriedenheit der Psychologie-Studierenden \(\mu_1\) unterscheidet sich von der Lebenszufriedenheit der Gesamtbevölkerung \(\mu_0\).

\(H_1\): \(\mu_0\) \(\neq\) \(\mu_1\)

t.test(fb22$lz, mu=4.4)

## 
## 	One Sample t-test
## 
## data:  fb22$lz
## t = 3.6121, df = 156, p-value = 0.000409
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 4.4
## 95 percent confidence interval:
##  4.540275 4.878834
## sample estimates:
## mean of x 
##  4.709554

t.test(fb22$lz, mu=4.4, conf.level = 0.99) #Default ist 95%, deshalb erhöhen wir auf 99%

## 
## 	One Sample t-test
## 
## data:  fb22$lz
## t = 3.6121, df = 156, p-value = 0.000409
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 4.4
## 99 percent confidence interval:
##  4.486077 4.933032
## sample estimates:
## mean of x 
##  4.709554

Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% kann die \(H_0\) verworfen werden. Die Psychologie-Studierenden unterscheiden sich in ihrer Lebenszufriedenheit von der Gesamtbevölkerung.

Ja, diese Informationen reichen aus. Die Standardabweichung der Stichprobe wird nicht benötigt.

Hypothesengenerierung:

\(\alpha\) = .05

\(H_0\): Die durchschnittliche Abschlussnote der Psychologie-Studierenden \(\mu_1\) ist schlechter oder gleich groß wie zuvor (\(\mu_0\)).

\(H_0\): \(\mu_0\) \(\leq\) \(\mu_1\)

\(H_1\): Die durchschnittliche Abschlussnote der Psychologie-Studierenden \(\mu_1\) ist besser als zuvor (\(\mu_0\)).

\(H_1\): \(\mu_0\) \(>\) \(\mu_1\)

mean.note <- 2.01 #Mittelwert alt
mean.sd <- 0.57 #Standardabweichung alt
n.new.note <- 140 #Stichprobengröße
new.mean.note <- 1.81 #Mittelwert neu
se.mean.note <- 0.57/sqrt(n.new.note) #Standardfehler
z.note <- abs((new.mean.note-mean.note)/se.mean.note) #empirischer z-Wert
z.note

## [1] 4.151635

z_krit <- qnorm(1-.05) #kritischer z-Wert
z_krit

## [1] 1.644854

z.note > z_krit #Signifikanzentscheidung

## [1] TRUE

Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% wird die \(H_0\) (keine Veränderung) verworfen. Die Abschlussnote hat sich über die Jahre verbessert.

pnorm(q = 1.81, mean = 2.01,sd = .57, lower.tail = T)*100

## [1] 36.28402

Nur 36.28% der Fälle hatten eine bessere Abschlussnote als 1.81. Dies unterstützt das Ergebnis, dass sich der neue Wert von dem bisherigen Mittelwert unterscheidet.

Hypothesengenerierung:

\(\alpha\) = .05

\(H_0\): Die durchschnittlichen Extraversionswerte der Psychologie-Studierenden \(\mu_1\) unterscheiden sich nicht von den Werten der Gesamtbevölkerung \(\mu_0\).

\(H_0\): \(\mu_0\) \(=\) \(\mu_1\)

\(H_1\): Die durchschnittlichen Extraversionswerte der Psychologie-Studierenden \(\mu_1\) unterscheiden sich von den Werten der Gesamtbevölkerung \(\mu_0\).

\(H_1\): \(\mu_0\) \(\neq\) \(\mu_1\)

t.test(fb22$extra, mu=3.5)

## 
## 	One Sample t-test
## 
## data:  fb22$extra
## t = -2.1626, df = 158, p-value = 0.03207
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 3.5
## 95 percent confidence interval:
##  3.268361 3.489500
## sample estimates:
## mean of x 
##  3.378931

Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% kann die \(H_0\) verworfen werden. Die Psychologie-Studierenden unterscheiden sich in ihrer Extraversion von der Gesamtbevölkerung. Das 95%-ige Konfidenzintervall liegt zwischen 3.27 und 3.49. Das bedeutet, dass in 95% der Fälle in einer wiederholten Ziehung aus der Grundgesamtheit die mittleren Extraversionswerte zwischen 3.27 und 3.49 liegen.

Effektgröße:

mean_extra <- mean(fb22$extra, na.rm = T) #MW der Stichprobe
sd_extra <- sd(fb22$extra, na.rm = T) #Stichproben SD (Populationsschätzer)
mean_Popu_extra <- 3.5 #MW der Grundgesamtheit
d1 <- abs((mean_extra - mean_Popu_extra)/sd_extra) #abs(), da Betrag
d1

## [1] 0.1715089

Die Effektgröße ist mit 0.17 als klein einzuordnen.

Hypothesengenerierung:

\(\alpha\) = .01

\(H_0\): Die durchschnittlichen Nerdiness-Werte der Psychologie-Studierenden \(\mu_1\) sind geringer oder gleich gross wie die Werte der Gesamtbevölkerung \(\mu_0\).

\(H_0\): \(\mu_0\) \(\geq\) \(\mu_1\)

\(H_1\): Die durchschnittlichen Nerdiness-Werte der Psychologie-Studierenden \(\mu_1\) sind groesser als die Werte der Gesamtbevölkerung \(\mu_0\).

\(H_1\): \(\mu_0\) \(<\) \(\mu_1\)

t.test(fb22$nerd, mu=2.9, alternative="greater", conf.level = 0.99)

## 
## 	One Sample t-test
## 
## data:  fb22$nerd
## t = 4.3879, df = 158, p-value = 1.042e-05
## alternative hypothesis: true mean is greater than 2.9
## 99 percent confidence interval:
##  3.005341      Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##  3.126834

Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% kann die \(H_0\) verworfen und die \(H_1\) angenommen werden. Die Psychologie-Studierenden haben höhere Nerdiness-Werte im Vergleich zur Gesamtbevölkerung.

Effektgröße:

mean_nerd <- mean(fb22$nerd, na.rm = T) #MW der Stichprobe
sd_nerd <- sd(fb22$nerd, na.rm = T) #Stichproben SD (Populationsschätzer)
mean_Popu_nerd <- 2.9 #MW der Grundgesamtheit
d2 <- abs((mean_nerd - mean_Popu_nerd)/sd_nerd) #abs(), da Betrag
d2

## [1] 0.3479827

Die Effektgröße ist mit 0.35 als klein bis mittel einzuordnen.

Hypothesengenerierung:

\(\alpha\) = .05

\(H_0\): Die durchschnittlichen Verträglichkeitswerte der Psychologie-Studierenden \(\mu_1\) sind geringer oder gleich gross wie die Werte der Gesamtbevölkerung \(\mu_0\).

\(H_0\): \(\mu_0\) \(\geq\) \(\mu_1\)

\(H_1\): Die durchschnittlichen Verträglichkeitswerte der Psychologie-Studierenden \(\mu_1\) sind größer als die Werte der Gesamtbevölkerung \(\mu_0\).

\(H_1\): \(\mu_0\) \(<\) \(\mu_1\)

t.test(fb22$vertr, mu=3.9, alternative = "greater")

## 
## 	One Sample t-test
## 
## data:  fb22$vertr
## t = 4.2764, df = 158, p-value = 1.638e-05
## alternative hypothesis: true mean is greater than 3.9
## 95 percent confidence interval:
##  4.020113      Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##  4.095912

Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% kann die \(H_0\) verworfen und die \(H_1\) angenommen werden. Die Psychologie-Studierenden haben höhere Verträglichkeitswerte im Vergleich zur Gesamtbevölkerung. Das 95%-ige Konfidenzintervall liegt zwischen 4.02 und \(\infty\) (außerhalb des definierten Wertebereichs). Das bedeutet, dass in 95% der Fälle in einer wiederholten Ziehung aus der Grundgesamtheit die mittleren Verträglichkeitswerte zwischen 4.02 und \(\infty\) (außerhalb des definierten Wertebereichs) liegen.

Effektgröße:

mean_vertr <- mean(fb22$vertr, na.rm = T) #MW der Stichprobe
sd_vertr <- sd(fb22$vertr, na.rm = T) #Stichproben SD (Populationsschätzer)
mean_Popu_vertr <- 3.9 #MW der Grundgesamtheit
d3 <- abs((mean_vertr - mean_Popu_vertr)/sd_vertr) #abs(), da Betrag
d3

## [1] 0.3391422

Die Effektgröße ist mit 0.34 als klein bis mittel einzuordnen.