Verteilungen - Lösungen

An dieser Stelle zunächst eine generelle Anmerkung: Für einige der nachfolgenden Aufgaben wird es - wie eigentlich fast immer in R - mehrere Lösungswege geben. Die hier gezeigten Wege sind also exemplarische Vorlagen.

topf <- c('rot','gruen','blau','gelb')
kombis <- expand.grid(topf, topf)
nrow(kombis)

## [1] 16

Es gibt demnach 16 Möglichkeiten.

kombis$gewinn <- kombis$Var1 == 'gruen'|kombis$Var2 == 'gruen'
sum(kombis$gewinn == TRUE)

## [1] 7

Die Spalte Gewinn enthält hier in logischer Form Informationen darüber, ob eine der beiden Kugeln grün war. Der vertikale Strich steht dabei für einen oder Zusammenhang. gewinn wird TRUE, wenn entweder Var1 oder Var2 mit gruen an dieser Stelle gefüllt ist. Dabei würde auch TRUE entstehen, wenn beide logischen Überprüfungen TRUE anzeigen. Danach muss also nur noch die Summe der TRUE Einträge geprüft werden. Diese ist 7.

muenze <- c('Kopf', 'Zahl')
sample(x = muenze, size = 1)

## [1] "Kopf"

set.seed(1901)
kopfwurf <- replicate(n = 5, expr = sample(x = muenze, size = 1)=="Kopf")

Natürlich wäre es auch möglich, erst die 5 Replikationen in einem Objekt abzulegen und dieses dann auf Kopf-Würfe zu untersuchen. Allerdings kann diese Operation auch gleich in die replicate Funktion mit eingebaut werden.

TRUE und FALSE werden wie bereits besprochen als 1 und 0 in R behandelt. Bei unendlichen Würfen sollt man erwarten, dass Kopf und Zahl gleich häufig vorkommen. Demnach stehen in unserem Objekt gleich viele TRUE und FALSE Angaben. Der Mittelwert würde gegen 0.5 gehen.

dbinom(x = 4, size = 10, prob = 0.3)

## [1] 0.2001209

x <- c(0:10)
probs <- dbinom(x, size = 10, prob = 0.3)
plot(x = x, y = probs, type = "h", xlab = "Häufigkeiten eines Gewinns", ylab = "Wahrscheinlichkeit bei 10 Versuchen")

pbinom (q = 4, size = 10, prob = 0.3, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.1502683

Durch q = 4 und lower.tail = FALSE werden hier die Werte von 5 bis 10 Gewinnen aufaddiert.

pbinom(q = 8, size = 10, prob = 0.3) - pbinom(q = 5, size = 10, prob = 0.3)

## [1] 0.0472053

Hier sollte herausgefunden werden, welchen Erwartungswert man für die Teilnahme hat. 30% der Versuche sollten Gewinne sein.

anzahlGewinne <- 10*.3       #Erwartungswert bei 10 Versuchen
GeldErw <- anzahlGewinne * 2 #Erwartungswert in Euro
GeldErw > 5  

## [1] TRUE

Die letzte Zeile vergleicht unseren erwarteten Gewinn in Euro mit dem Einsatz. Da der durchschnittliche Gewinn höher ist als der Einsatz - anders als in Gewinnspielen in der realen Welt - sollte man hier wohl mitspielen.

curve (expr = dnorm (x, mean = 50, sd = 10),
       from = 30,
       to = 70,
       main = "Dichtefunktion",
       xlab = "Stress-Werte",
       ylab = "Dichte")

Die standardisierte Verteilung entspricht der Standardnormalverteilung. Das wird auch durch die Zeichnung verdeutlicht.

curve (expr = dnorm (x, mean = 0, sd = 1),
       from = -2,
       to = 2,
       main = "Standardnormalverteilung",
       xlab = "standardisierte Stress-Werte",
       ylab = "Dichte")

Ein einfacher Weg ist die Standardisierung des Wertes des Skalenwertes nach der Formel.

(66-50)/10

## [1] 1.6

Wir sehen, dass die Person einen höheren z-Wert hat, also mehr Stress empfindet.

Dies gilt stets für einen z-Wert von 0, denn die Dichtefunktion ist symmetrisch mit der möglichen Spiegelung bei 0.

curve (expr = pnorm (x, mean = 0, sd = 1),
       from = -2,
       to = 2,
       main = "Verteilungsfunktion",
       xlab = "standardisierte Testwerte",
       ylab = "F(x)")

load(url('https://pandar.netlify.app/post/fb22.rda')) 
is.numeric(fb22$neuro)

## [1] TRUE

Einladen können wir den Datensatz über den gewohnten Befehl. Wir geben hier die Vorbereitung der anderen Befehle nicht nochmal an, da neuro als Variable bereits existiert und der Text hier nicht zu lange werden soll.

Da wir Werte wie den Mittelwert für die Überprüfung der Normalverteilung verwenden wären, ist es nötig, eine numerische Variable vorliegen zu haben (is.numeric). Das Resultat TRUE zeigt uns an, dass dies gegeben ist.

fb22$neuro |> is.na() |> sum()

## [1] 0

mean(fb22$neuro) 

## [1] 3.625786

Beispielsweise können wir die Variable neuro als Vektor nehmen und erstmal jeden Eintrag überprüfen, ob er fehlt. Dann würde ein TRUE entstehen. Da dieses als 1 gewertet wird, können wir anschließend mit sum die Anzahl herausfinden. In diesem Fall ergibt sich 0 - also kein Wert fehlt. Der Mittelwert kann also ohne Eränzungen zu den NA mit der Funktion mean direkt bestimmt werden.

hist(fb22$neuro, xlim=c(0,6), main="Score", xlab="", ylab="", prob=T)
curve(dnorm(x, mean=mean(fb22$neuro), sd=sd(fb22$neuro)), add=T)

Der Befehl unterscheidet sich zunächst nicht von der Betrachtung im Tutorial. Logischerweise muss nur alles auf die Variable neuro angewendet werden. Jedoch sehen wir, dass der Plot leider nicht vollständig angezeigt wird, wenn die Linie der Normalverteilung hinzufügen. Dies könnte durch eine Modifikation der y-Achse y-lim umgangen werden.

hist(fb22$neuro, xlim=c(0,6), ylim=c(0,0.6), main="Score", xlab="", ylab="", prob=T)
curve(dnorm(x, mean=mean(fb22$neuro), sd=sd(fb22$neuro)), add=T)

Wir sehen leichte Abweichungen des Histogramms von der theoretischen Kurve. Vor allem im unteren Bereich bei einem Wert von 1 bis 1.5 sind Personen, die die Verteilung nicht erwarten würde, während im oberen Teil (über 5) Leute fehlen (was ja auch logisch ist, da es keinen höheren Wert geben konnte aufgrund der Konstruktion der Fragen). Auch wenn diesmal Abweichungen deutlicher zu sehen sind als im Tutorial, würde man noch keine starke Verletzung attestieren, da die Form der Glocke auch gut dargestellt wird.

Wir haben im Tutorial gelernt, dass die Erstellung einer standardisierten Variable die Interpretierbarkeit eines solchen Plots fördern kann.

fb22$neuro_std <- scale(fb22$neuro, center = T, scale = T)
qqnorm(fb22$neuro_std)
qqline(fb22$neuro_std, col = "red")

Der QQ-Plot zeigt ein ähnliches Muster wie das Histogramm. In der empirischen Verteilung gibt es niedrige Werte, die durch die theoretische Verteilung nicht so zu erwarten wären (Person hat einen z-Wert von kleiner -3, obwohl nur kleiner -2 erwartet wird). Die Werte bleiben demnach unter den Erwartungen - streuen zu weit nach links. Auch auf der rechten Seite bleiben unsere empirischen Werte unter den theoretisch erwarteten zurück (liegen unterhalb der Linie - Personen haben z-Werte unter 2, obwohl über 2 erwartet wird). Hier bedeutet dies, dass unsere empirischen Werte nicht weit genug nach rechts streuen.

Trotzdem ist auch hier die Verletzung auf wenige Punkte fokussiert, weshalb wir keine starke Verletzung annehmen. Die Färbung erhalten wir in diesem Fall dadurch, dass wir in qqline noch eine Farbe im Argument col ergänzen.