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Aufgabe 1
Vektoren
Wir wollen uns zunächst noch mal Vektoren widmen und einige Operationen durchführen.
- Erstellen Sie in R die drei folgenden Vektoren:
Lassen Sie sich anschließend das 3. Element des
y-Vektors und das 1. Element desz-Vektors ausgeben.
Lösung
# Erstellen der Vektoren
x <- c(4, 2)
y <- c(7, 14, 93, 56)
z <- c(48, 13, 107)
y[3] # 3. Element des y-Vektors
## [1] 93
z[1] # 1. Element des z-Vektors
## [1] 48
- Addieren Sie
xundy. Was erwarten Sie? Gleichen Sie Ihre Erwartungen mit dem tatsächlichen Ergebnis ab.
Lösung
x + y
## [1] 11 16 97 58
Wir wissen bereits, dass die Addition von Vektoren elementeweise funktioniert. Eigentlich können wir nur Vektoren des gleichen Formats addieren, dennoch bekommen wir hier keine Fehlernachricht. Stattdessen benutzt R unseren kürzeren Vektor (x) zwei mal, um die Addition zu ermöglichen.
- Addieren Sie nun
xundz. Was wird jetzt passieren? Gleichen Sie wieder Ihre Erwartungen mit dem tatsächlichen Ergebnis ab.
Lösung
x + z
## Warning in x + z: longer object length is not a multiple of shorter object length
## [1] 52 15 111
In der vorherigen Aufgabe hatten wir zwei Vektoren vorliegen, die ein Vielfaches einander darstellten. Dies ist in dieser Aufgabe nicht der Fall, deshalb bekommen wir hier eine Warnung: "longer object length is not a multiple of shorter object length". R warnt uns also, dass der längere Vektor in diesem Beispiel kein Vielfaches des kürzeren Vektors darstellt (und somit nicht einfach der kürzere Vektor vervielfacht genutzt werden kann). Stattdessen verwendet R nur das erste Element unseres z-Vektors zweifach.
- Multiplizieren Sie nun den
y-Vektor mit dem Skalarm = 3.
Lösung
m <- 3
y * m
## [1] 21 42 279 168
Wie wir sehen, wird jedes Element unseres Vektors mit 3 multipliziert. Die Multiplikation mit Skalaren funktioniert also ebenso elementenweise.
- Nehmen wir an, der Vektor
xbeinhaltet die Anzahl an Geschwistern von Sarah und Lea. Ordnen Sie den beiden Elementen die Namen zu.
Lösung
names(x) <- c("Sarah", "Lea")
x
## Sarah Lea
## 4 2
Aufgabe 2
Matrizen
- Erstellen Sie eine $4 \times 3$ Matrix (
A) aus den folgenden Spaltenvektoren:
Lösung
# Vektoren erstellen
a <- c(1, 2, 3, 4)
b <- c(5, 6, 7, 8)
c <- c(9, 10, 11, 12)
# Matrix A erstellen und anzeigen lassen
A <- cbind(a, b, c)
A
## a b c
## [1,] 1 5 9
## [2,] 2 6 10
## [3,] 3 7 11
## [4,] 4 8 12
- Erstellen Sie nun aus den gleichen Vektoren eine $3 \times 4$ Matrix (
B), indem sie die Vektoren als Zeilenvektoren zu einer Matrix verbinden:
Lösung
# Matrix B erstellen und anzeigen lassen
B <- rbind(a, b, c)
B
## [,1] [,2] [,3] [,4]
## a 1 2 3 4
## b 5 6 7 8
## c 9 10 11 12
- Lassen Sie sich die Elemente $a_{32}$ und $b_{23}$ ausgeben. Was fällt Ihnen auf?
Lösung
A[3, 2]
## b
## 7
B[2, 3]
## b
## 7
Wie wir sehen, sind die Elemente $a_{32}$ und $b_{23}$ identisch. Das liegt daran, dass die Matrix A die Transponierte der Matrix B ist.
- Bilden Sie die Transponierte von
B.
Lösung
t(B)
## a b c
## [1,] 1 5 9
## [2,] 2 6 10
## [3,] 3 7 11
## [4,] 4 8 12
Wir sehen, dass die Transponierte von B tatsächlich identisch mit A ist. Wir können die Elemente auch einzeln abgleichen:
t(B) == A
## a b c
## [1,] TRUE TRUE TRUE
## [2,] TRUE TRUE TRUE
## [3,] TRUE TRUE TRUE
## [4,] TRUE TRUE TRUE
- Bilden Sie die beiden Matrizen
XundY(mit demmatrix-Befehl) und addieren Sie diese. Multiplizieren Sie das Ergebnis (Z) anschließend mit 4.
Lösung
# Matrizen erstellen
X <- matrix(c(-4, -13,
8, -32,
49, 2), nrow = 3, ncol = 2,
byrow = TRUE)
Y <- matrix(c(12, 25,
7, 106,
4, -20), nrow = 3, ncol = 2,
byrow = TRUE)
# Matrizen addieren
Z <- X + Y
Z
## [,1] [,2]
## [1,] 8 12
## [2,] 15 74
## [3,] 53 -18
# mit 4 addieren (skalare Multiplikation)
Z*4
## [,1] [,2]
## [1,] 32 48
## [2,] 60 296
## [3,] 212 -72
- Multiplizieren Sie die Matrizen
AundZ. Machen Sie sich vorher Gedanken über die Voraussetzungen der Matrixmultiplikation und welches Matrixformat Sie erwarten.
Lösung
# Matrixmultiplikation
A %*% Z
## [,1] [,2]
## [1,] 560 220
## [2,] 636 288
## [3,] 712 356
## [4,] 788 424
Die Multiplikation der beiden Matrizen funktioniert unproblematisch, da die beiden Matrizen kompatibel sind, d.h. die Anzahl an Spalten der Matrix A entspricht der Anzahl an Zeilen der Matrix Z. Das Ergebnis ist entstanden, indem die Zeilen der Matrix A mit den Spalten der Matrix Z elementenweise multipliziert und diese Elemente anschließend addiert wurden. Wir erhalten eine $4 \times 2$ Matrix.
Aufgabe 3
Spezielle Matrizen
- Erstellen Sie eine $4 \times 4$ Einheitsmatrix $I$.
Lösung
# Einheitsmatrix
I <- diag(4)
I
## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 1 0 0 0
## [2,] 0 1 0 0
## [3,] 0 0 1 0
## [4,] 0 0 0 1
Die Einheitsmatrix $I$ zeichnet sich dadurch aus, dass Sie auf der Diagonale nur Einsen und sonst nur Nullen als Elemente hat.
- Erstellen Sie eine quadratische Matrix
Smit den Elementen14, 7, 28auf der Diagonalen.
Lösung
# quadratische Matrix
S <- diag(c(14, 7, 28))
S
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 14 0 0
## [2,] 0 7 0
## [3,] 0 0 28
- Bilden Sie die Inverse der Matrix
Zaus Aufgabe 2. Was erwarten Sie?
Lösung
# Inverse
# solve(Z)
Es lässt sich keine Inverse der Matrix Z bilden, da diese nicht quadratisch ist. Das erfahren wir auch in der Fehlernachricht von R: 'a' (3 x 2) must be square.
- Bilden Sie nun die Inverse
Pder MatrixS. Überprüfen Sie im Vorhinein, ob lineare Abhängigkeit vorliegt!
Lösung
# Determinante bestimmen
det(S)
## [1] 2744
Die Determinante ist nicht Null, es liegt also keine lineare Abhängigkeit vor.
# Inverse
P <- solve(S)
P
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.07142857 0.0000000 0.00000000
## [2,] 0.00000000 0.1428571 0.00000000
## [3,] 0.00000000 0.0000000 0.03571429
Nun erhalten wir ein Ergebnis, da es sich bei S um eine quadratische Matrix handelt, die zudem regulär und somit invertierbar ist. Unser Ergebnis ist die Matrix, mit welcher wir S (matrix-)multiplizieren müssen, um die Einheitsmatrix zu erhalten. Das können wir auch kurz gegenchecken:
# Inverse
P %*% S
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 0 0
## [2,] 0 1 0
## [3,] 0 0 1
Tatsächlich: Wir erhalten die Einheitmatrix $I$.
Bonusaufgabe: To come
Regressionskoeffizienten berechnen mit Hilfe von Matrixalgebra
