Tests für unabhängige Stichproben - Lösungen

In der Variable fach liegen 5 verschiedene Fächer vor. Es interessieren aber nur zwei Ausprägungen davon, weshalb wir ein Subset aus unseren Daten bilden. Dieses legen wir in einem neuen Datensatz ab, den wir data1 nennen, da er zur ersten Aufgabe gehört.

table(fb23$fach)

## 
##  Allgemeine Biologische Entwicklung   Klinische Diag./Meth. 
##          30          31          19          82           5

data1 <- fb23[fb23$fach=="Allgemeine"|fb23$fach=="Klinische", ]

Damit im neuen Datensatz die alten Levels nicht mehr existieren (und bspw. bei Nutzung von table() mit einer Häufigkeit von 0 angezeigt werden), verwenden wir den Befehl droplevels().

table(data1$fach)

## 
##  Allgemeine Biologische Entwicklung   Klinische Diag./Meth. 
##          30           0           0          82           0

data1$fach <- droplevels(data1$fach)
table(data1$fach)

## 
## Allgemeine  Klinische 
##         30         82

Beachten Sie, dass dieses Vorgehen aber keine Personen ausschließt, die das Lieblingsfach nicht angegeben haben. Dies können wir aber durch eine weitere Reduktion des Datensatzes erreichen.

data1 <- data1[!is.na(data1$fach),]

Deskriptivstatistische Beantwortung der Fragestellung: grafisch

boxplot(data1$offen ~ data1$fach,
        xlab="Interessenfach", ylab="Offenheit für neue Erfahrungen", 
        las=1, cex.lab=1.5, 
        main="Interessenfach und Offenheit")

Deskriptivstatistische Beantwortung der Fragestellung: statistisch Die describeBy() Funktion aus dem Paket psych kann uns helfen, direkt die deskriptiven Maße getrennt für unsere beiden Gruppen zu erstellen.

library(psych)
describeBy(x = data1$offen, group = data1$fach)

## 
##  Descriptive statistics by group 
## group: Allgemeine
##    vars  n mean   sd median trimmed  mad min max range skew kurtosis   se
## X1    1 30 3.67 0.82    3.5    3.67 0.74   2   5     3 0.11       -1 0.15
## -------------------------------------------------------------------------------------- 
## group: Klinische
##    vars  n mean   sd median trimmed  mad min max range  skew kurtosis   se
## X1    1 82 3.77 0.98      4    3.86 0.74 1.5   5   3.5 -0.58    -0.59 0.11

Allerdings haben wir auch gelernt, dass die Funktion describeBy() nur Populationsschätzer für Varianz und Standardabweichung berichtet. Deshalb müssen wir die empirische Schätzung mittels der Korrektur durchführen. Hierfür gibt es natürlich verschiedene Wege. Wir ziehen uns in dem Code alle Offenheits-Werte, die Personen mit den jeweiligen Fächern angegeben haben und legen Sie jeweils in ein Objekt (offen_A und offen_K) ab. Diese Objekte sind Vektoren und enthalten somit NUR die Offenheits-Werte. Allerdings müssen wir hier fehlende Werte beachten, da es sein könnte, dass eine Person zwar die Frage nach ihrem Lieblingsfach, aber nicht die Frage nach ihrer Offenheit. In dem Beispiel kommt das zwar nicht vor, aber zur Sicherheit haben wir den Code allgemein gültig geschrieben.

offen_A <- data1$offen[(data1$fach=="Allgemeine")]
sigma_A <- sd(offen_A)
n_A <- length(offen_A[!is.na(offen_A)])
sd_A <- sigma_A * sqrt((n_A - 1) / n_A)
sd_A 

## [1] 0.8096639

offen_K <- data1$offen[(data1$fach=="Klinische")]
sigma_K <- sd(offen_K)
n_K <- length(offen_K[!is.na(offen_K)])
sd_K <- sigma_K * sqrt((n_K-1) / n_K)
sd_K

## [1] 0.9759146

Mittelwert der Allgemeinen Psychologen ($M = 3.67$, $SD = 0.81$ unterscheidet sich deskriptivstatistisch vom Mittelwert der Klinischen ($M = 3.77$, $SD = 0.98$).

Hypothesen

• Art des Effekts: Unterschiedshypothese
• Richtung des Effekts: Ungerichtet $\rightarrow$ ungerichtete Hypothesen
• Größe des Effekts: Unspezifisch

Hypothesenpaar (inhaltlich):

• $H_0$: Die Offenheitswerte unterscheiden sich nicht zwischen Studierenden, die als Lieblingsfach klinische, und Studierenden, die als Lieblingsfach allgemeine Psychologie angegeben haben.
• $H_1$: Die Offenheitswerte unterscheiden sich zwischen Studierenden, die als Lieblingsfach klinische, und Studierenden, die als Lieblingsfach allgemeine Psychologie angegeben haben.

Hypothesenpaar (statistisch):

• $H_0$: $\mu_\text{Allgemeine} = \mu_\text{Klinische}$
• $H_1$: $\mu_\text{Allgemeine} \ne \mu_\text{Klinische}$

Die zusätzlichen Voraussetzungen sind die folgenden:

1. zwei unabhängige Stichproben $\rightarrow$ ist gegeben
2. die einzelnen Messwerte innerhalb der Gruppen sind voneinander unabhängig (Messwert einer Vpn hat keinen Einfluss auf den Messwert einer anderen) $\rightarrow$ kann als gegeben angeommen werden
3. das untersuchte Merkmal ist in den Grundgesamtheiten der beiden Gruppen normalverteilt $\rightarrow$ (ggf.) optische Prüfung
4. Homoskedastizität: Varianzen der Variablen innerhalb der beiden Populationen sind gleich $\rightarrow$ Levene-Test

Voraussetzungsprüfung: Normalverteilung

par(mfrow=c(1,2))
hist(offen_K, xlim=c(0.5,5.5), ylim=c(0,0.5), main="Offenheit\n(Klinische)", xlab="", ylab="", las=1, prob=T)
curve(dnorm(x, mean=mean(offen_K, na.rm=T), sd=sd(offen_K, na.rm=T)), col="red", lwd=2, add=T)
qqnorm(offen_K)
qqline(offen_K, col="red")

par(mfrow=c(1,2))
hist(offen_A, xlim=c(0.5,5.5), main="Offenheit\n(Allgemeine)", xlab="", ylab="", las=1, prob=T)
curve(dnorm(x, mean=mean(offen_A, na.rm=T), sd=sd(offen_A, na.rm=T)), col="red", lwd=2, add=T)
qqnorm(offen_A)
qqline(offen_A, col="red")

Wir sehen anhand der Abbildungen, dass unsere empirischen Verteilungen nicht den theoretischen Normalverteilungen entsprechen, was vor allem na einem Deckeneffekt liegt (viele Personen haben die maximale Offenheit gewählt). Gleichzeitig wissen wir durch den zentralen Grenzwertsatz, dass die Stichprobenkennwerteverteilung bei großem $N$ bei kleineren Verletzungen der Symmetrie trotzdem der gewünschten Verteilung folgt. Da wir eine große Stichprobe und keine starke Verletzung der Symmetrie vorliegen haben, bleiben wir erstmal bei der Durchführung des $t$-Tests und untersuchen die Varianzhomogenität.

Voraussetzungsprüfung: Varianzhomogenität

library(car)
leveneTest(data1$offen ~ data1$fach)

## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##        Df F value Pr(>F)
## group   1  0.6047 0.4385
##       110

$F$(1, 110) = 0.6, $p$ = 0.438 $\rightarrow$ Das Ergebnis ist nicht signifikant, die $H_0$ wird beibehalten und Varianzhomogenität angenommen.

Durchführung des t-Tests

t.test(data1$offen ~ data1$fach,           # abhängige Variable ~ unabhängige Variable
       paired = F,                   # Stichproben sind unabhängig 
       alternative = "two.sided",         # zweiseitige Testung
       var.equal = T,                # Varianzhomogenität ist gegeben (-> Levene-Test)
       conf.level = .95)             # alpha = .05 

## 
## 	Two Sample t-test
## 
## data:  data1$offen by data1$fach
## t = -0.50521, df = 110, p-value = 0.6144
## alternative hypothesis: true difference in means between group Allgemeine and group Klinische is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.5002719  0.2970199
## sample estimates:
## mean in group Allgemeine  mean in group Klinische 
##                 3.666667                 3.768293

Formales Berichten des Ergebnisses

Es wurde untersucht, ob sich Studierende, die sich für Allgemeine Psychologie interessieren, im Persönlichkeitsmerkmal Offenheit für neue Erfahrungen von Studierenden, die sich für Klinische Psychologie interessieren, unterscheiden. Deskriptiv liegt ein solcher Unterschied vor: Die Mittelwerte betragen 3.67 (Allgemeine, $SD = 0.81$) und 3.77 (Klinische, $SD = 0.98$). Der entsprechende $t$-Test zeigt jedoch ein nicht signifikantes Ergebnis (t(df = 110, zweis.) = -0.51, $p$ = 0.614). Die Nullhypothese konnte nicht verworfen werden und wird beibehalten. Die Studierenden unterscheiden sich nicht im Persönlichkeitsmerkmal Offenheit für neue Erfahrungen unabhängig davon, ob sie sich für Allgemeine Psychologie oder für Klinische Psychologie interessieren.

Hypothesen

• Art des Effekts: Unterschiedshypothese
• Richtung des Effekts: Gerichtet $\rightarrow$ gerichtete Hypothesen
• Größe des Effekts: Unspezifisch

Hypothesenpaar (inhaltlich):

• $H_0$: Studierende, die in Frankfurt wohnen, schätzen sich selbst zu Beginn des Praktikums weniger oder gleich wach ein als Studierende, die nicht in Frankfurt wohnen.
• $H_1$: Studierende, die in Frankfurt wohnen, schätzen sich selbst zu Beginn des Praktikums wacher ein als Studierende, die nicht in Frankfurt wohnen.

Hypothesenpaar (statistisch):

• $H_0$: $\mu_\text{FFM} \leq \mu_\text{andere}$
• $H_1$: $\mu_\text{FFM} > \mu_\text{andere}$

t.test(fb23$wm_pre ~ fb23$ort,           # abhängige Variable ~ unabhängige Variable
       paired = F,                   # Stichproben sind unabhängig 
       alternative = "greater",         # einseitige Testung
       var.equal = T,                # Varianzhomogenität ist gegeben (-> Levene-Test)
       conf.level = .99)             # alpha = .05 

## 
## 	Two Sample t-test
## 
## data:  fb23$wm_pre by fb23$ort
## t = 0.38003, df = 172, p-value = 0.3522
## alternative hypothesis: true difference in means between group FFM and group anderer is greater than 0
## 99 percent confidence interval:
##  -0.1851268        Inf
## sample estimates:
##     mean in group FFM mean in group anderer 
##              2.673246              2.637500

In der inferenzstatistischen Testung zeigt sich kein signifikanter Unterschied. Wir würden also die $H_0$ beibehalten, auch wenn der Mittelwert der Gruppe FFM deskriptiv ein wenig größer ist.

Hypothesen

• Art des Effekts: Unterschiedshypothese
• Richtung des Effekts: Ungerichtet $\rightarrow$ ungerichtete Hypothesen
• Größe des Effekts: Unspezifisch

Hypothesenpaar (inhaltlich):

• $H_0$: Studierende, die Unipartys besuchen, erreichen im Mittel gleiche Werte der Lebenszufriedenheit wie Studierende, die diese Partys nicht besuchen.
• $H_1$: Studierende, die Unipartys besuchen, erreichen im Mittel unterschiedliche Werte der Lebenszufriedenheit als Studierende, die diese Partys nicht besuchen.

Hypothesenpaar (statistisch):

• $H_0$: $\eta_\text{Unipartys} \neq \eta_\text{keine Unipartys}$
• $H_1$: $\eta_\text{Unipartys} = \eta_\text{keine Unipartys}$

Deskriptivstatistische Beantwortung der Fragestellung: grafisch

boxplot(fb23$lz ~ fb23$unipartys,
        ylab="Lebenszufriedenheit", 
        las=1, cex.lab=1.5, 
        main="Unipartys und Lebenszufriedenheit")

Deskriptivstatistische Beantwortung der Fragestellung: statistisch

describeBy(fb23$lz, fb23$unipartys)

## 
##  Descriptive statistics by group 
## group: nein
##    vars  n mean   sd median trimmed  mad min max range  skew kurtosis   se
## X1    1 94 4.96 1.12    5.2    5.05 0.89 1.4   7   5.6 -0.84     0.69 0.12
## -------------------------------------------------------------------------------------- 
## group: ja
##    vars  n mean   sd median trimmed  mad min max range  skew kurtosis   se
## X1    1 83  5.3 0.96    5.4    5.35 1.19 2.8   7   4.2 -0.45    -0.55 0.11

Rein deskriptiv unterscheiden sich die beiden Gruppen in ihrer mittleren Lebenszufriedenheit

1. zwei unabhängige Stichproben $\rightarrow$ ok
2. die einzelnen Messwerte sind innerhalb der beiden Gruppen voneinander unabhängig (Messwert einer Vpn hat keinen Einfluss auf den Messwert einer anderen) $\rightarrow$ ok
3. das untersuchte Merkmal ist stetig (mindestens singulär-ordinal skaliert) $\rightarrow$ Fragebogenscore mit begrenzter Anzahl, aber wir nehmen diese als nahe genug an $\infty$ an
4. das Merkmal folgt in beiden Gruppen der gleichen Verteilung

Voraussetzungsprüfung: gleiche Verteilung

par(mfrow=c(1,2))
lz_party <- fb23[which(fb23$unipartys=="ja"), "lz"]
hist(lz_party, xlim=c(1,9), ylim=c(0,0.5), main="Lebenzufriedenheit\n(Unipartys)", xlab="", ylab="", las=1, prob=T)
curve(dnorm(x, mean=mean(lz_party, na.rm=T), sd=sd(lz_party, na.rm=T)), col="red", lwd=2, add=T)
qqnorm(lz_party)
qqline(lz_party, col="red")

par(mfrow=c(1,2))
lz_noparty <- fb23[which(fb23$unipartys=="nein"), "lz"]
hist(lz_noparty, xlim=c(1,9), main="Lebenszufriedenheit\n(Keine Unipartys)", xlab="", ylab="", las=1, prob=T)
curve(dnorm(x, mean=mean(lz_noparty, na.rm=T), sd=sd(lz_noparty, na.rm=T)), col="red", lwd=2, add=T)
qqnorm(lz_noparty)
qqline(lz_noparty, col="red")

leveneTest(fb23$lz ~ fb23$unipartys)

## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##        Df F value Pr(>F)
## group   1  0.3436 0.5585
##       175

Durchführung des Wilcoxon-Tests

wilcox.test(fb23$lz ~ fb23$unipartys, # abhängige Variable ~ unabhängige Variable
       paired = F,                   # Stichproben sind unabhängig 
       alternative = "two.sided",      # zweiseitige Testung 
       conf.level = .95)             # alpha = .05 

## 
## 	Wilcoxon rank sum test with continuity correction
## 
## data:  fb23$lz by fb23$unipartys
## W = 3229.5, p-value = 0.0481
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Formales Berichten des Ergebnisses

Es wurde untersucht, ob Studierende, die auf Unipartys gehen, sich in der Lebenszufriedenheit von denen unterscheiden, die das nicht tun. Deskriptiv zeigt sich, dass die Uniparty-Gänger:innen zufriedener sind ($Mdn = 5.4$) als die, die das nicht tun ($Mdn = 5.2$). entsprechende Wilcoxon-Test zeigt ein signifikantes Ergebnis ($W = 3229.5$, $p = 0.048$). Die Nullhypothese wird daher verworfen. Studierende, die auf Unipartys gehen, unterscheiden sich im Mittel in ihrer Lebenszufriedenheit von denen, die dies nicht tun.

Ist die Wahrscheinlichkeit dafür, neben dem Studium einen Job (job) zu haben, die gleiche für Erstsemesterstudierende der Psychologie die in einer Wohngemeinschaft wohnen wie für Studierenden die bei ihren Eltern wohnen (wohnen)? Führen Sie die Testung mit $\alpha = 0.05$ durch.

fb23$job <- factor(fb23$job, levels=c(1,2), labels=c("nein", "ja"))

data4 <- fb23[(which(fb23$wohnen=="WG"|fb23$wohnen=="bei Eltern")),] # Neuer Datensatz der nur Personen beinhaltet, die entweder bei den Eltern oder in einer WG wohnen
levels(data4$wohnen)

## [1] "WG"         "bei Eltern" "alleine"    "sonstiges"

data4$wohnen <- droplevels(data4$wohnen) 
# Levels "alleine" und "sonstiges" wurden eliminiert
levels(data4$wohnen)

## [1] "WG"         "bei Eltern"

tab <- table(data4$wohnen, data4$job)
tab

##             
##              nein ja
##   WG           30 25
##   bei Eltern   23 17

chisq.test(tab, correct=FALSE)

## 
## 	Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  tab
## X-squared = 0.08196, df = 1, p-value = 0.7747

library(psych)
phi(tab)

## [1] -0.03