Verteilungen

Vorbereitende Schritte

Der Datensatz wird in diesem Tutorial nicht genutzt, weshalb wir ihn nicht einladen.

Warum Wahrscheinlichkeit?

In der psychologischen Forschung werden nur Stichproben gezogen. Für die Übertragung der Ergebnisse auf die Grundgesamtheit (Population), aus der die Stichprobe stammt, ist eine Betrachtung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen essentiell. Die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben Sie in der Vorlesung vermittelt bekommen. Hier geht es nun um die praktische Anwendung in R. Im weiteren Verlauf werden zuerst Zufallsexperimente und empirische Häufigkeitsverteilungen betrachtet. Anschließend werden verschiedene Verteilungen dargestellt.

Erstellung eines einfachen Zufallsexperiments

Starten wir erstmal mit der Simulation von einem einfachen Zufallsexperiment, dem Werfen von 2 Würfeln. Zwei Würfel können insgesamt 6*6 also 36 verschiedene Kombinationen unter Beachtung der Reihenfolge ergeben. Um dies zu simulieren, definieren wir zunächst einen Würfel als Objekt. Mit expand.grid() können wir uns alle möglichen Kombinationen anzeigen lassen (R kombiniert alle Optionen des ersten Objektes wuerfel einmal mit allen Optionen des zweiten Objektes wuerfel).

wuerfel <- c(1:6)
expand.grid(wuerfel,wuerfel)

##    Var1 Var2
## 1     1    1
## 2     2    1
## 3     3    1
## 4     4    1
## 5     5    1
## 6     6    1
## 7     1    2
## 8     2    2
## 9     3    2
## 10    4    2
## 11    5    2
## 12    6    2
## 13    1    3
## 14    2    3
## 15    3    3
## 16    4    3
## 17    5    3
## 18    6    3
## 19    1    4
## 20    2    4
## 21    3    4
## 22    4    4
## 23    5    4
## 24    6    4
## 25    1    5
## 26    2    5
## 27    3    5
## 28    4    5
## 29    5    5
## 30    6    5
## 31    1    6
## 32    2    6
## 33    3    6
## 34    4    6
## 35    5    6
## 36    6    6

Der Erwartungswert der Augensumme beim Wurf mit zwei Würfeln kann bestimmt werden, indem wir diese Möglichkeiten einem Objekt pos zuweisen. Anschließend bilden wir die Summe für jede Kombination. Wenn man nun alle Möglichkeiten aufaddiert und durch die Anzahl an Möglichkeiten (Anzahl der Reihen aller Möglichkeiten ist 36) teilt, erhält man den Erwartungswert 7.

pos <- expand.grid(wuerfel,wuerfel)
pos$sum <- pos$Var1+pos$Var2
sum(pos$sum) / nrow(pos)

## [1] 7

Wie aus der Vorlesung und der eigenen Brettspielerfahrung bekannt, ist der Erwartungswert für ein einzelnes Ereignis nicht aussagekräftig - man würfelt nicht mit jedem Wurf 7. Doch gibt es eine Beziehung zwischen beobachteter und erwarteter Häufigkeit, die man durch häufiges Wiederholen abbilden kann. Dafür könnte man 1000 Mal per Hand die Würfel werfen und das Ergebnis jeweils in R notieren, doch natürlich bietet das Programm auch einen Shortcut. Mit der Funktion sample() kann zufällig aus einer definierten Menge gezogen werden. Ein einmaliges Werfen eines Würfels würde dabei so aussehen.

sample(x = wuerfel, size = 1)

## [1] 2

Unter dem Argument x kann definiert werden, aus welcher Menge an Objekten zufällig gezogen wird - in diesem Fall die Ziffern zwischen 1 und 6, die im Objekt wuerfel hinterlegt sind. size definiert die Anzahl an Wiederholungen. Wenn wir nun also zwei Würfel werfen wollen, können wir die size einfach erhöhen. Dabei ist es außerdem wichtig, ob das Experiment mit oder ohne Zurücklegen durchgeführt wird. Dafür ist das Argument replace verantwortlich, das standardmäßig auf FALSE steht. Da die Würfel jedoch auch die selbe Zahl anzeigen können, agieren wir mit Zurücklegen und müssen das Argument auf TRUE setzen.

sample(x = wuerfel, size = 2, replace = TRUE)

## [1] 6 6

Für die Verteilung der Ergebnisse ist es vor allem wichtig, wie die Summe aus den beiden Ziffern aussieht. Die Funktionen kann man in einer Zeile kombinieren.

sample(x = wuerfel, size = 2, replace = TRUE) |> sum()

## [1] 10

Des Weiteren soll der Wurf nicht nur einmal mit den beiden Würfeln durchgeführt werden, sondern häufiger wiederholt werden. Hier hilft Ihnen replicate(), wobei die Anzahl an wiederholten Durchführungen einer Funktion im Argument n festgelegt werden kann. Weiterhin muss im Argument expr die Funktion genannt werden, die wiederholt werden soll.

replicate(n = 10, expr = sum(sample(x = wuerfel, size = 2, replace = TRUE)))

##  [1]  7  7  7  8  3  9  7  6 11  6

Beachten Sie jedoch, dass Sie bei zweimaliger Durchführung desselben Befehls nicht zwei Mal dasselbe Ergebnis bekommen werden, da R den Zufall jeweils neu simuliert.

replicate(n = 10, expr = sum(sample(x = wuerfel, size = 2, replace = TRUE)))

##  [1]  6  8  7 11  7  9 10  5  5  5

Zur Konstanthaltung der Ergebnisse eines Zufallsvorgangs kann set.seed() genutzt werden, durch das der R interne Zufallsgenerator stets an der selben Stelle gestartet wird. Dies ermöglicht die Reproduzierbarkeit des Ergebnisses (Anmerkung: bei verschiedenen Versionen von R könnte der Befehl auch andere Resultate produzieren).

set.seed(500)
replicate(n = 10, expr = sum(sample(x = wuerfel, size = 2, replace = TRUE)))

##  [1]  8  3  6  8  7  6  8  3 12 10

Des Weiteren weisen wir unsere Daten einem Objekt zu, um sie im Folgenden analysieren zu können. Zusätzlich können wir den Code durch die Nutzung des Pipes nochmal verschönern. Wir ziehen zuerst das sample, bilden dann die Summe aus den beiden Werten. Diese Kombination wird dem Argument expr aus der replicate Funktion zugeordnet. R ersetzt also durch den Pipe nicht immer das erste Argument der nachffolgenden Funktion (das wäre ja n), sondern das Argument, welches in der Standardreihenfolge als erstes keine Zuweisung erhalten hat. R checkt demnach, dass n schon besetzt ist und ersetzt stattdessen das zweite Argument expr.

set.seed(500)
results_10 <- sample(x = wuerfel, size = 2, replace = TRUE) |> sum() |> replicate(n = 10)
results_10

##  [1]  8  3  6  8  7  6  8  3 12 10

Häufigkeitsverteilung

Zur Veranschaulichung der Ergebnisse können Sie das bereits besprochene Histogramm nutzen, das Häufigkeiten abbildet. Mit xlim legen wir in diesem Fall die Grenzen der möglichen Ereignisse fest, auch wenn diese noch nicht aufgetreten sind. breaks sind die Übergänge zwischen den Balken. Um die Balken jeweils über der ganzen Zahl (also den möglichen Ereignissen von 2 bis 12) zu haben, setzen wir die Punkte auf 1.5, 2.5, 3.5 und so weiter bis 12.5. Dies wird durch den Doppelpunkt erreicht, der so oft auf den Wert der unteren Grenze eins addiert, bis er bei der oberen angekommen ist.

hist(results_10,xlim = c(1.5,12.5), breaks = c(1.5:12.5))

Durch eine Erhöhung der Würfe nähert sich die empirische Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ergebnisse den theoretischen Wahrscheinlichkeiten an. Auch dies kann man grafisch darstellen.

set.seed(500)
results_50 <- sample(x = wuerfel, size = 2, replace = TRUE) |> sum() |> replicate(n = 50)
hist(results_50, xlim = c(1.5,12.5), breaks = c(1.5:12.5))

results_250 <- sample(x = wuerfel, size = 2, replace = TRUE) |> sum() |> replicate(n = 250)
hist(results_250, xlim = c(1.5,12.5), breaks = c(1.5:12.5))

results_10000 <- sample(x = wuerfel, size = 2, replace = TRUE) |> sum() |> replicate(n = 10000)
hist(results_10000, xlim = c(1.5,12.5), breaks = c(1.5:12.5))

Dies wird auch daran deutlich, dass sich der Mittelwert der Verteilung nun dem Erwartungswert von 7 annähert.

mean(results_10)

## [1] 7.1

mean(results_50)

## [1] 6.88

mean(results_250)

## [1] 7.016

mean(results_10000)

## [1] 6.9895

Binomialverteilung

Kommen wir nun von der Abbildung empirischer Häufigkeiten zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung - zu der Binomialverteilung. Diese basiert auf einem Bernoulli-Experiment, was bedeutet, dass es nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ergebnisse eines Vorgangs gibt. Nehmen wir als Beispiel ein Glücksrad, auf dem 4/5 der Fläche rot markiert sind und 1/5 grün. Diese Ereignisse schließen sich gegenseitig aus und haben bei einer Drehung eine bestimmte Wahrscheinlichkeit von p(rot) = 0.8 und p(grün) = 0.2. Wenn Sie solch ein Spiel anbieten wollen, stellt sich die Frage, wie wahrscheinlich es ist, dass die Teilnehmenden in einer bestimmten Häufigkeit beim Drehen grün treffen. In der Vorlesung haben Sie dafür eine Funktion kennengelernt:

\begin{equation*} P(X = x) = {n \choose x} \cdot \pi^x \cdot (1 - \pi)^{n-x} \end{equation*}

1. $x$ Anzahl der Treffer
2. $n$ Anzahl der Wiederholungen
3. $\pi^x$ Wahrscheinlichkeit von $x$ Treffern
4. $(1-\pi)^{n-x}$ Wahrscheinlichkeit von $n-x$ Nieten
5. ${n \choose x}$ Anzahl der Möglichkeiten / Binomialkoeffizient

Für den Binomialkoeffizienten hat R einen eigenen Eingabebefehl choose() mit den Argumenten n und k. Wenn wir nun also berechnen wollen wie wahrscheinlich es ist, dass bei 100-maligem Drehen 20 mal grün erscheint, kann man dies folgendermaßen machen.

choose(n = 100, k = 20) * 0.2^20 * 0.8^80

## [1] 0.09930021

Noch simpler geht es mit der Funktion dbinom(). Diese hat als Argumente x statt k, size statt n und prob für die Wahrscheinlichkeit des interessierenden Ereignisses.

dbinom(x = 20, size = 100, prob = 0.2) 

## [1] 0.09930021

Die berechnete Lösung ist ein Wert aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung unseres Beispiels. Es ist also die Wahrscheinlichkeit, dass genau 20 von 100 Versuchen auf grün landen. Für jede mögliche Anzahl k bzw. x gibt es einen zugeordneten Wert. Um sich die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung anzusehen, gibt es folgende Eingabemöglichkeit:

x <- c(0:100)   # alle möglichen Werte für x in unserem Beispiel
probs <- dbinom(x, size = 100, prob = 0.2) #Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Werte
plot(x = x, y = probs, type = "h", xlab = "Häufigkeiten des Ereignis Grün", ylab = "Wahrscheinlichkeit bei 100 Drehungen")

Die Funktion plot() gibt uns die Möglichkeit, eigene x und y Werte zu definieren. Es werden alle Zahlen zwischen 0 und 100 mit der dazugehörigen Wahrscheinlichkeit abgebildet. type gibt uns die Möglichkeit, verschiedene Darstellungsarten zu wählen (h steht in dem Fall für histogrammähnliche Striche). xlab und ylab ermöglichen die Achsenbeschriftung.

Im folgenden Plot ist nochmal abgebildet, was wir mit der Funktion dbinom() für den Wert 20 erreicht haben: Wir konnten die “Höhe” seines Balkens bestimmen - also die Wahrscheinlichkeit für genau 20 Erfolge.

Anmerkung: Grafiken mit gefärbten Bestandteilen werden hier zu didaktischen Zwecken dargestellt. Es wird nicht erwartet, dass dies selber beherrscht wird und aus Gründen des Umfangs auch nicht beschrieben.

Neben der genauen Erfolgszahl gibt es auch häufig Fragestellungen, die sich mit Bereichen befassen: Wie wahrscheinlich ist es, dass höchstens 20 Mal grün gedreht wird bei 100 Versuchen? In unserem Plot der Wahrscheinlichkeitsverteilung würde der erfragte Wert die Summe der Werte vieler Balken sein.

Eine solche Frage kann mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung beantwortet werden. Hier werden die Werte der niedrigeren Zahlen kumuliert - das bedeutet aufaddiert.

Auch hierfür ist in R eine Funktion definiert mit dem Namen pbinom(). q gibt nun die Zahl an, bis zu der alle Wahrscheinlichkeiten aufaddiert werden. size und prob erhalten ihre Bedeutung. lower.tail = TRUE (Standardeinstellung) sorgt für eine Aufaddierung der Werte startend bei 0 (also 0 bis 20 Mal grün). Bei lower.tail = FALSE würde von der anderen Seite, also der size zugeordneten Zahl, begonnen werden. Die Aufaddierung der Werte geht dann von dem maximalen Wert (also $n$ und in diesem Fall 100) bis zu dem Wert 1 + q (21 bis 100 Mal grün).

Höchstens 20 mal bedeutet dabei, dass die 20 im Intervall mit einbezogen wird (also lower.tail = TRUE).

pbinom(q = 20, size = 100, prob = 0.2, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.5594616

Bei weniger als 20 mal könnte man q = 19 verwenden, da die Binomialverteilung stets diskrete Variablen abbildet.

Um die Wahrscheinlichkeit innerhalb eines Intervalls zu berechnen, kann die Funktion einfach zwei mal genutzt und die Werte voneinander subtrahiert werden. Für die Fragestellung, wie wahrscheinlich Werte im Intervall von 15 und 20 sind, würde die Funktion folgendermaßen aussehen:

pbinom(q = 20, size = 100, prob = 0.2, lower.tail = TRUE) - pbinom(q = 14, size = 100, prob = 0.2, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.4790179

Wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann die Verteilungsfunktion natürlich auch abgebildet werden. Im Code der Grafikerstellung muss nur die Funktion dbinom() durch pbinom() ersetzt werden.

x <- c(0:100)   # alle möglichen Werte für x in unserem Beispiel
probs <- pbinom(x, size = 100, prob = 0.2, lower.tail = TRUE) #Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Werte
plot(x = x, y = probs, type = "h", 
     xlab = "Häufigkeiten für Ereignis Grün", 
     ylab = "kumulierte Wahrscheinlichkeit")

Im Endeffekt haben wir mit pbinom() also wieder einen Wert aus dieser Verteilung ablesen können.

Es ist bereits ein Muster zu erkennen: Der Buchstabe vor dem Funktionsname "binom()" ("d" als Punktwahrscheinlichkeit für ein bestimmtes x bzw. "p" als kumulierte Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes x) verändert die Funktion. Des Weiteren bietet R noch die zufällige Simulation des Experimentes mit "r" und den Präfix "q" für die Quantilfunktion.

Gehen wir nun einmal umgekehrt an unser Experiment heran. Wir wollen hier herausfinden, welche Anzahl an Treffern in den unteren 10 Prozent der Verteilung liegen. Auch hier werden die einzelnen Wahrscheinlichkeiten wieder aufaddiert / kumuliert. Optisch gesehen suchen wir also nach dem Ort in unserer Verteilungsfunktion, wo die 10 Prozent liegen.

Die Funktion qbinom() beantwortet uns diese entgegengesetzte Fragestellung von pbinom().

qbinom(p = 0.1, size = 100, prob = 0.2, lower.tail = TRUE)

## [1] 15

p gibt die Anzahl an Prozent an, die die kumulierten Wahrscheinlichkeiten höchstens erreichen dürfen - also 10 Prozent. lower.tail = TRUE steht auch hier dafür, dass wir bei 0 mit der Betrachtung anfangen. Das Ergebnis der Funktion nennt den Wert, der die Grenze überschreitet (in diesem Fall 15). Die kumulierten Wahrscheinlichkeiten von 0 bis 14 Mal grün Drehen übersteigen also nicht unsere Grenze von p = 0.1.

Zum Abschluss noch die Simulation dieses Zufallsexperimentes. Bei rbinom() geben wir in n an, wie oft R unsere 100 Drehungen (size) mit der Wahrscheinlichkeit 0.2 (prob) durchführen soll. Im Bezug auf unser Beispiel wird hier also die Anzahl ausgegeben, wie häufig grün gedreht wird. Beachten Sie, dass bei diesem Befehl ohne set.seed() andere Ergebnisse bei mehrmaliger Durchführung auftreten, da das Experiment ja zufällig durchgeführt wird.

rbinom(n = 1, size = 100, prob = 0.2)

## [1] 17

Allgemeines Muster

Diese Präfixe können für alle in R integrierten Verteilungstypen benutzt werden. Eine Übersicht über diese erhält man durch ?distributions.

Stetige Zufallsvariablen

Die Anzahl an Treffern in diesem Experiment stellt eine diskrete Zufallsvariable dar. Zwischen den Werten 4 und 5 Treffer liegen beispielsweise keine anderen Möglichkeiten. Im Gegensatz dazu stehen stetige Zufallsvariablen. Bei diesen liegen zwischen einer Unter- und einer Obergrenze überabzählbar unendlich viele Werte. Beispielsweise liegen zwischen einer Größe von 180 und 181 cm unzählbar viele Abstufungen. Für stetige Zufallsvariablen kann daher nicht einfach eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ausgegeben werden, da sie der Theorie nach unendlich viele Balken enthalten würde. Deshalb gibt es hierfür die Dichtefunktion.

$$ f(x|\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} $$

mit $\mu$ für den Mittelwert und $\sigma$ für die Standardabweichung

Die Fläche unter dieser Funktion ergibt einen Wert von 1 - genauso wie die Addition aller Balken einer Wahrscheinlichkeitsfunktion. Viele Merkmale in der Psychologie folgen dabei der Normalverteilung (Größe, IQ, etc.), die Sie in der Vorlesung kennen gelernt haben. Diese stellt eine besondere Form der Dichtefunktion dar mit folgenden Eigenschaften:

• Symmetrisch um $\mu$
• Glockenförmig
• Wendepunkte bei $\mu$ $\pm$ $\sigma$
• Erwartungswert = Median = Maximum bei $\mu$
• 68.27% der Verteilung liegen zwischen $\mu$ $\pm$ $\sigma$

Für die IQ-Verteilung der Population wird angenommen, dass diese den Mittelwert von 100 hat und eine Standardabweichung von 15. Die bewährten Tests werden dahingehend genormt. Wenn wir nun den Wert auf der x-Achse aus der Dichtefunktion eines Probanden erfahren wollen (IQ = 114.3), können wir diesen mit der dnorm() Funktion berechnen. Benötigt werden neben dem x-Wert (in diesem Fall der IQ-Wert) noch der Mittelwert mean und die Standardabweichung sd der zugrundeliegenden Verteilung.

dnorm(x = 114.3, mean = 100, sd = 15) 

## [1] 0.01688363

Neben der Verwendung von dnorm() können wir die Wahrscheinlichkeitsdichte auch manuell berechnen. Dazu können wir die Formel einfach in Code übersetzen, um die Funktionalität von dnorm() zu prüfen. Wir haben bereits gelernt, dass die Wurzelfunktion in R sqrt() heißt. Die Zahl $\pi$ liegt als Objekt standardmäßig vor mit dem Namen pi, auch wenn es uns nicht im Global Environment angezeigt wird – aber auch Funktionen wie sum(), mean() und sehr viele andere werden dort ja nicht angezeigt, also ist das für uns nichts neues. Die Funktion exp() haben wir in der Hilfe zur Logarithmus Funktion log() gesehen und hilft uns beim letzten Teil der Gleichung.

1 / (15 * sqrt(2 * pi)) * exp(-0.5 * ((114.3 - 100) / 15)^2)

## [1] 0.01688363

Eingesetzt sind hier die Werte $sd = 15$, $x = 114.3$ und $\bar{x} = 100$ Mit dieser manuellen Methode erhalten wir das gleiche Ergebnis wie mit dnorm(). Insgesamt ist die Zeile Code aber recht umständlich, weshalb wir auf jeden Fall bei der Nutzung der Funktion bleiben sollten.

Alleine ist der Wert aus der Dichtefunktion noch nicht aussgekräftig für die Anwendung. Trotzdem betrachten wir zunächst den grafischen Aspekt. Wenn wir nun den eben gesehenen Plot zeichnen wollen, verwenden wir bei stetigen Funktionen, wie es die Dichtefunktion eine ist, den Befehl curve(). Dafür muss im Argument expr eine Funktion in Abhängigkeit von x genannt werden. Mit from und to legt man die Grenzen der Bereiche fest. Auf der x-Achse (xlab) sollen die möglichen IQ-Werte, auf der y-Achse (ylab) die zugehörigen Werte der Dichtefunktion f(x) abgebildet werden. Mit main wird ein Titel für die Grafik vergeben.

curve(expr = dnorm(x, mean = 100, sd = 15), 
      from = 70, 
      to = 130, 
      main = "Normalverteilung", 
      xlab = "IQ-Werte",
      ylab = "Dichte f(x)")

Mit dnorm() konnten wir also einen bestimmten y-Wert aus dieser Verteilung ablesen.

Um für einen bestimmten Wert eine hilfreiche Aussage treffen zu können, wird die Fläche unter der Kurve betrachtet - also die Verteilungsfunktion. Diese ist das Integral (Integrale fungieren zur Flächenbestimmung) der Dichtefunktion. Wie bereits erwähnt ist die Fläche unter der Kurve 1. Nun kann man betrachten, wie groß die Fläche zwischen -$\infty$ und dem Wert einer Person ist, um die Leistung einordnen zu können.

Dafür können auch bei stetigen Variablen die anderen Präfixe wie bei "binom()" genutzt werden. Zur Angabe der Fläche ist der Befehl folglich pnorm(). Das Argument lower.tail steht bei TRUE dafür, dass die Fläche ab -$\infty$ bis zu unserem Wert berechnet wird (FALSE hingegen wäre von unserem Wert bis +$\infty$).

pnorm(114.3, mean = 100, sd = 15, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.8297894

82.98 % der Fläche liegen also unterhalb unseres IQ-Wertes von 114.3. 17.02 % der Fläche liegen hingegen oberhalb unseres IQ-Wertes von 114.3.

Neben der Verwendung von pnorm() können wir die Fläche unter der Kurve auch manuell integrieren. Dazu verwenden wir die Funktion integrate() und unser Wissen aus der Vorlesung.

Die integrate() in R wird verwendet, um das bestimmte Integral einer Funktion über ein angegebenes Intervall zu berechnen. Diese Funktion hat drei Argumente: f benennt die zu integrierende Funktion. lower ist die untere Grenze des Integrationsintervalls. upper ist die Obergrenze des Integrationsintervalls. Wenn die Funktion, die wir integrieren wollen, auch Argumente hat, werden diese in integrate auch aufgeführt. Dabei gibt es in dnorm() den Mittelwert mean und die Standardabweichung sd.

integrate(f = dnorm, lower = -Inf, upper = 114.3, mean = 100, sd = 15)

## 0.8297894 with absolute error < 1.6e-06

Diese Methode liefert das gleiche Ergebnis wie die Verwendung von pnorm() und gibt zusätzlich eine Warnmeldung über die Genauigkeit. integrate() ist im Endeffekt flexibler, weil man es eben auf viele Funktionen anwenden kann (pnorm() gilt nur für die Normalverteilung) . Allerdings gibt es bei den meisten Verteilungen auch eine vordefinierte Verteilungsfunktion mit dem Präfix p (Integral der Dichtefunktion), weshalb wir integrate() im ersten Semester eher selten benutzen werden.

Auch hier können wir zur Veranschaulichung einmal die Verteilungsfunktion als Grafik betrachten. Dafür zeichnen wir die Funktion pnorm(). Der restliche Code funktioniert analog zu dem, was wir bereits gesehen haben, mit der curve() Funktion.

curve(expr = pnorm(x, mean = 100, sd = 15, lower.tail = TRUE),
     from = 70,
     to = 130,
     main = "Verteilungsfunktion", 
     xlab = "IQ-Werte",
     ylab = "F(x)")

Hier ist schön zu sehen, dass sich die Verteilungsfunktion mit steigendem IQ-Wert der 1 annähert, da dies die Fläche unter der Dichtefunktion ist. Aus der Verteilung haben wir mit pnorm() den y-Wert bei 114.3 ablesen können.

Auch der Präfix "q" funktioniert äquivalent. Durch qnorm() erhalten wir unter Angabe einer Wahrscheinlichkeit den zugehörigen Wert aus der Verteilungsfunktion der Dichte. Wir wollen hier betrachten, welcher Wert die unteren 50% der Verteilung abtrennt.

qnorm(p = 0.5, mean = 100, sd = 15, lower.tail = TRUE)

## [1] 100

Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung wird hier wie erwartet die Verteilung durch genau ihren Mittelwert (in diesem Fall 100) in 2 Hälften geteilt.

Um die Ziehung aus einer Normalverteilung zu simulieren, können wir mit dem Präfix "r" wieder Daten zufällig auswählen. Anstatt "binom()" folgt nun aber "norm()". Als Argumente werden die Anzahl der Werte, der Mittelwert mean und die Standardabweichung sd der gewünschten Verteilung benötigt. Es werden zufällig 10 Elemente aus einer Normalverteilung gezogen, die den vorgegebenen Parametern entspricht.

set.seed(500)                   #zur Konstanthaltung der zufälligen Ergebnisse
rnorm(10,mean = 100,sd = 15)

##  [1] 114.52734 129.48052 113.29484 100.45810 114.24336  91.34905 110.82285 109.28648 100.31509 104.12275

Natürlich gibt es noch viele weitere Verteilungen, denen Werte in der Empirie folgen können. Weiterhin liegen Verteilungen bei erhobenen Daten selten in der betrachteten, perfekten Form vor. In den nächsten Wochen werden uns Verteilungen bei der Beurteilung von Hypothesen stets begleiten und wir werden den Umgang mit ihnen weiter kennenlernen.