Modellfit

Der Likelihood-Ratio-Test (${\chi }^2$-Differenzentest) vergleicht die Likelihoods zweier Modelle und somit implizit eigentlich die Kovarianzmatrizen (und Mittelwerte). In Lehrbüchern steht häufig der ${\chi }^2$-Wert ist stichprobenabhängig und wächst mit der Stichprobengröße, was ebenfalls als Grund für die Fit-Indizes genannt wird. Das ist allerdings nur teilweise richtig, denn der ${\chi }^2$-Wert ist nur für Modelle stichprobenabhängig, in welchen die $H_0$-Hypothese nicht gilt. In einigen Lehrbüchern steht zudem die Formel für den ${\chi }^2$-Wert wie folgt: Wir definieren zunächst die sogenannte Fit-Funktion $F_{ML}$ (diese wurde bereits in der Sitzung zur CFA erwähnt), welche die Differenz zwischen der Kovarianzmatrix der Daten sowie der modellimplizierten Kovarianzmatrix quantifiziert (für die Formeln siehe gerne auch bspw. in Schermelleh-Engel, Moosbrugger & Müller, 2003): $$F_{ML}({\hat{\mathrm{\Sigma }}}_M,S)=\log (|{\hat{\mathrm{\Sigma }}}_M|)-\log (|S|)+\text{Spur}\left[S{\hat{\mathrm{\Sigma }}}_M^{-1}\right]-p,$$ wobei ${\hat{\mathrm{\Sigma }}}_M$ die modellimplizierte Kovarianzmatrix und $S$ die Kovarianzmatrix der Daten ist und $p$ die Anzahl an beobachteten Variablen. $|\bullet |=det(\bullet )$ ist die Determinante einer Matrix (bspw. $|S|=det(S)$) und $\text{Spur}$ bezeichnet hierbei die Summe der Diagonalelemente des jeweiligen Objekts (der resultierenden quadratischen Matrix). Die Null-Hypothese besagt: $$H_0:S={\mathrm{\Sigma }}_M$$ Diese Null-Hypothese sagt also, dass die Kovarianzmatrix der Daten ($S$) und die modellimplizierte Kovarianzmatrix (${\mathrm{\Sigma }}_M$) identisch sind. Es wird also behauptet, dass interindividuelle Unterschiede und deren Zusammenhänge durch die modellierte Struktur abgebildet werden können. Der ${\chi }^2$-Wert ergibt sie wie folgt: $${\chi }^2:=(n-1)F_{ML}({\hat{\mathrm{\Sigma }}}_M,S)$$