Im Verlauf dieses Seminars soll neben der Einführung in die Theorie und die Hintergründe multivariater Verfahren auch eine Einführung in deren Umsetzung gegeben werden, sodass Sie in der Lage sind, diese Verfahren in Ihrem zukünftigen akademischen und beruflichen Werdegang zu nutzen. Diese Umsetzung möchten wir Ihnen mit lavaan zeigen - dem meistverbreiteten Paket für multivariate Verfahren wie z.B. konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA), Pfadanalyse oder Strukturgleichungsmodellierung (SEM) in R. Das Paket wird derzeit pro Woche ca. 12500 mal herunter geladen; es wird in allen Bereichen der psychologischen Forschung genutzt und wurde in über 23 000 wissenschaftlichen Veröffentlichungen zitiert.
Forscher:innen der Psychologie oder anderer Natur-, Sozial- und Geisteswissenschaften interessieren sich häufig dafür, wie sich Daten auf einige wenige entscheidende Faktoren herunterbrechen lassen, welche ein theoretisches Erklärungsmodell für die Variation in einem Datensatz liefern. Die Annahme ist hierbei, dass die beobachtbaren Messungen eine Linearkombination (also eine Summe) aus einem systematischen (wahren) und einem unsystematischen (Fehler-)Anteil bilden. Die dahinterliegenden Faktoren sind nicht messbare (latente) Variablen, auf welche, unter gewissen Annahmen, nur anhand der Kovariation zwischen den beobachtbaren Items geschlossen werden kann. Durch diese Zusammenhänge zwischen den Messungen können schließlich Hypothesen für die latenten Variablen untersucht werden. Ein theoriegenerierendes Verfahren, das hierzu häufig verwendet wird, ist die exploratorische Faktorenanalyse (im Folgenden EFA, engl. Exploratory Factor Analysis, vgl. Eid, Gollwitzer & Schmitt, 2017, Kapitel 25. Außerdem können Sie sich Brandt, 2020, Kapitel 23 genauer ansehen, wenn Sie weitere Informationen, bzw. eine zusätzliche Erklärung wünschen).
In der letzten Sitzung wurden faktoranalytische Verfahren für Datenexploration behandelt. Die Ergebnisse der EFA sind datengesteuert: welche Items welchen Faktoren zugeordnet werden, wie viele Faktoren genutzt werden, wie stark der Zusammenhang zwischen Item und Faktor ist, das alles sind Dinge, die aus den Daten heraus entschieden werden. In dieser Sitzung betrachten wir das Vorgehen, wenn in der Faktorenanalyse von einem konkreten, theoretisch fundierten Modell ausgegangen wird und dieses anhand empirischer Daten geprüft werden soll. Ganz im Popper’schen Sinn lässt sich nur durch ein solches Vorgehen wissenschaftliche Erkenntnis gewinnen.
In dieser Sitzung beschäftigen wir uns mit Pfadanalysen und Strukturgleichungsmodellen (engl. Structural Equation Modeling, SEM). Diese werden beispielsweise in Werner, Schermelleh-Engel, Gerhard und Gäde (2016, Kapitel 17 in Döring & Bortz, 2016) oder Eid, Gollwitzer und Schmitt (2017) in Kapitel 26 ausführlich beschrieben.
In einer Multi-Sample-Analysis wird in mehreren Gruppen gleichzeitig ein Strukturgleichungsmodell geschätzt. Wir könnten uns bspw. fragen, ob die gleichen Beziehungen zwischen Zeitdruck, Emotionaler Erschöpfung und psychosomatischen Beschwerden, wie wir sie in der letzten Sitzung zu SEM beobachtet haben, gleichermaßen für Männer und Frauen gelten. Im Datensatz StressAtWork der SEM Sitzung ist die Variable sex enthalten. Hier sind Frauen mit 1 und Männer mit 2 kodiert. Wir können diesen wie gewohnt laden:
Sie können den im Folgenden verwendeten Datensatz “StressAtWork.rda” hier herunterladen.
Der Likelihood-Ratio-Test ($\chi^2$-Differenzentest) vergleicht die Likelihoods zweier Modelle und somit implizit eigentlich die Kovarianzmatrizen (und Mittelwerte). In Lehrbüchern steht häufig der $\chi^2$-Wert ist stichprobenabhängig und wächst mit der Stichprobengröße, was ebenfalls als Grund für die Fit-Indizes genannt wird. Das ist allerdings nur teilweise richtig, denn der $\chi^2$-Wert ist nur für Modelle stichprobenabhängig, in welchen die $H_0$-Hypothese nicht gilt. In einigen Lehrbüchern steht zudem die Formel für den $\chi^2$-Wert wie folgt: Wir definieren zunächst die sogenannte Fit-Funktion $F_{ML}$ (diese wurde bereits in der Sitzung zur CFA erwähnt), welche die Differenz zwischen der Kovarianzmatrix der Daten sowie der modellimplizierten Kovarianzmatrix quantifiziert (für die Formeln siehe gerne auch bspw. in Schermelleh-Engel, Moosbrugger & Müller, 2003): $$F_{ML}(\hat{\Sigma}_M,S) = \log(|\hat{\Sigma}_M|)-\log(|S|)+\text{Spur}\left[S\hat{\Sigma}_M^{-1}\right] - p,$$ wobei $\hat{\Sigma}_M$ die modellimplizierte Kovarianzmatrix und $S$ die Kovarianzmatrix der Daten ist und $p$ die Anzahl an beobachteten Variablen. $|\bullet| = \det(\bullet)$ ist die Determinante einer Matrix (bspw. $|S|=\det(S)$) und $\text{Spur}$ bezeichnet hierbei die Summe der Diagonalelemente des jeweiligen Objekts (der resultierenden quadratischen Matrix). Die Null-Hypothese besagt: $$H_0:S=\Sigma_M$$ Diese Null-Hypothese sagt also, dass die Kovarianzmatrix der Daten ($S$) und die modellimplizierte Kovarianzmatrix ($\Sigma_M$) identisch sind. Es wird also behauptet, dass interindividuelle Unterschiede und deren Zusammenhänge durch die modellierte Struktur abgebildet werden können. Der $\chi^2$-Wert ergibt sie wie folgt: $$\chi^2:=(n-1)F_{ML}(\hat{\Sigma}_M,S)$$