In der letzten Sitzung wurden faktoranalytische Verfahren für Datenexploration behandelt. Die Ergebnisse der EFA sind datengesteuert: welche Items welchen Faktoren zugeordnet werden, wie viele Faktoren genutzt werden, wie stark der Zusammenhang zwischen Item und Faktor ist, das alles sind Dinge, die aus den Daten heraus entschieden werden. In dieser Sitzung betrachten wir das Vorgehen, wenn in der Faktorenanalyse von einem konkreten, theoretisch fundierten Modell ausgegangen wird und dieses anhand empirischer Daten geprüft werden soll. Ganz im Popper’schen Sinn lässt sich nur durch ein solches Vorgehen wissenschaftliche Erkenntnis gewinnen.
In dieser Sitzung beschäftigen wir uns mit Pfadanalysen und Strukturgleichungsmodellen (engl. Structural Equation Modeling, SEM). Diese werden beispielsweise in Werner, Schermelleh-Engel, Gerhard und Gäde (2016, Kapitel 17 in Döring & Bortz, 2016) oder Eid, Gollwitzer und Schmitt (2017) in Kapitel 26 ausführlich beschrieben.
In einer Multi-Sample-Analysis wird in mehreren Gruppen gleichzeitig ein Strukturgleichungsmodell geschätzt. Wir könnten uns bspw. fragen, ob die gleichen Beziehungen zwischen Zeitdruck, Emotionaler Erschöpfung und psychosomatischen Beschwerden, wie wir sie in der letzten Sitzung zu SEM beobachtet haben, gleichermaßen für Männer und Frauen gelten. Im Datensatz StressAtWork der SEM Sitzung ist die Variable sex enthalten. Hier sind Frauen mit 1 und Männer mit 2 kodiert. Wir können diesen wie gewohnt laden:
Sie können den im Folgenden verwendeten Datensatz “StressAtWork.rda” hier herunterladen.
Der Likelihood-Ratio-Test ($\chi^2$-Differenzentest) vergleicht die Likelihoods zweier Modelle und somit implizit eigentlich die Kovarianzmatrizen (und Mittelwerte). In Lehrbüchern steht häufig der $\chi^2$-Wert ist stichprobenabhängig und wächst mit der Stichprobengröße, was ebenfalls als Grund für die Fit-Indizes genannt wird. Das ist allerdings nur teilweise richtig, denn der $\chi^2$-Wert ist nur für Modelle stichprobenabhängig, in welchen die $H_0$-Hypothese nicht gilt. In einigen Lehrbüchern steht zudem die Formel für den $\chi^2$-Wert wie folgt: Wir definieren zunächst die sogenannte Fit-Funktion $F_{ML}$ (diese wurde bereits in der Sitzung zur CFA erwähnt), welche die Differenz zwischen der Kovarianzmatrix der Daten sowie der modellimplizierten Kovarianzmatrix quantifiziert (für die Formeln siehe gerne auch bspw. in Schermelleh-Engel, Moosbrugger & Müller, 2003): $$F_{ML}(\hat{\Sigma}_M,S) = \log(|\hat{\Sigma}_M|)-\log(|S|)+\text{Spur}\left[S\hat{\Sigma}_M^{-1}\right] - p,$$ wobei $\hat{\Sigma}_M$ die modellimplizierte Kovarianzmatrix und $S$ die Kovarianzmatrix der Daten ist und $p$ die Anzahl an beobachteten Variablen. $|\bullet| = \det(\bullet)$ ist die Determinante einer Matrix (bspw. $|S|=\det(S)$) und $\text{Spur}$ bezeichnet hierbei die Summe der Diagonalelemente des jeweiligen Objekts (der resultierenden quadratischen Matrix). Die Null-Hypothese besagt: $$H_0:S=\Sigma_M$$ Diese Null-Hypothese sagt also, dass die Kovarianzmatrix der Daten ($S$) und die modellimplizierte Kovarianzmatrix ($\Sigma_M$) identisch sind. Es wird also behauptet, dass interindividuelle Unterschiede und deren Zusammenhänge durch die modellierte Struktur abgebildet werden können. Der $\chi^2$-Wert ergibt sie wie folgt: $$\chi^2:=(n-1)F_{ML}(\hat{\Sigma}_M,S)$$